《向量的数量积、向量积与混合积》及其应用知识点小结与典型题

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一、两向量的数量积及其应用

1．向量的数量积

向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃)的数量积为

其中θ为向量a与b之夹角，规定0≤θ≤π.

2．向量的数量积运算规律

(1) 交换律 a∙b=b∙a；

(2) 结合律 (λa)∙b=a∙(λb)= λ(a∙b )；

(3) 分配律 (a+b)∙c= a∙c + b∙c；

(4) a∙a=| a|²(模的计算转换为数量积)

3．两向量的夹角

两非零向量a与b的夹角余弦计算公式为

4．两向量垂直位置关系的判定

【注】：零向量与任何向量垂直.

5．向量积的物理应用

常力F拉物体沿位移S所做的功W为：

W=F∙S

二、两向量的向量积及其应用

1．向量积的定义

两向量a=(a₁,a₂,a₃), b=(b₁,b₂,b₃)的向量积定义

【注】:两向量的数量积为一个数量，而两向量的向量积为一个向量．

关于向量a，b的向量积，有：

(1) aⅹb与a，b分别垂直；

(2)a，b与aⅹb服从右手法则(将两向量平移到同一起点，四个手指指向向量a，以不超过180度转向到向量b，则大拇指方向为向量积方向)；

(3)|aⅹb|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a，b间的夹角．

2．向量积的运算律

(1) 反交换律aⅹb=- bⅹa；；    

(2) aⅹa=0；

(3) 结合律 (λa)ⅹb=aⅹ(λb)=λ(aⅹb)，其中λ为实数；

(4) 分配律 (a+b)ⅹc=aⅹc+bⅹc.

3．向量积的几何应用

4．向量积的物理应用

设O为一根杠杆L的支点，有一个力F作用于这杠杆上点P处，则力F对支点O的力矩M为

三、向量的混合积及其应用

1．向量的混合积

设有三个向量

a=(a₁,a₂,a₃), b=(b₁,b₂,b₃), c=(c₁,c₂,c₃),

则称向量(aⅹb)∙c为向量a,b,c的混合积，记作[abc]，并有

根据行列式的运算性质，可得向量的混合积满足轮换性，即

2．混合积的几何应用

(1) a,b,c共面⇔[abc]=0⇔存在不全零的数λ,μ,γ，使得

λa +μb +γc=0.

(2) 空间四点A,B,C,D共面

(3) 以a,b,c为棱的四面体体积为：

(4) 以a,b,c为棱的平行六面体体积为：

四、三向量的外积

1．二重外积公式

对任意向量a,b,c，有

该公式也称为三向量的双重向量积.

2．双重向量积的几何关系

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