《空间平面及其方程》内容总结与典型题

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1．法向量

垂直于平面的一个非零向量n称为这个平面的法向量．与n平行的所有非零向量均可作为此平面的法向量，平面上的所有向量都与该平面的法向量垂直。单位法向量可以取为方向相反的两个.

2．平面的点法式与向量式方程

设M(x₀,y₀,z₀)为平面上的已知点，n=(A,B,C)为法向量，M(x,y,z)为平面上的任一点，则平面的点法式方程为：

如果取

则得平面的向量式方程：

3．平面的三点式方程

设M₁ (x₁,y₁,z₁)，M₂ (x₂,y₂,z₂)，M₃ (x₃,y₃,z₃)是某平面上不共线的三点，则由四点共面，四点构成的三个向量的混合积为零，可得平面的三点式方程：

4．平面的截距式方程

如果三点取为坐标轴上的点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，其中abc≠0，或者已知平面在三坐标轴上的截距为a,b,c，则平面的截距式方程为

5．平面的一般式方程

三元一次方程描述的图形为空间平面，即平面的一般式方程为：

并且平面的法向量为n=(A,B,C)，任何满足方程的x,y,z的值构成的有序对(x,y,z)对应的点都为该方程描述的平面上的点。

6．一些特殊平面对应的方程结构

(1) 过原点的平面：Ax+By+Cz=0；

(2) 平行于x轴的平面：By+Cz+D=0；

   平行于y轴的平面：Ax+Cz+D=0；

     平行于z轴的平面：Ax+By+D=0；

【注】：法向量的哪个分量为零，则该平面平行于该分量对应的坐标轴。

(3) 过x轴的平面：By+Cz=0；

    过y轴的平面：Ax+Cz=0；

    过z轴的平面：Ax+By=0；

(4) 行于xOy坐标面的平面：Cz+D=0；

    平行于zOx坐标面的平面：By+D=0；

    平行于yOz坐标面的平面：Ax+D=0；

【注】：法向量的哪两个分量为零，则该平面平行于这两个分量对应的坐标轴构成的坐标面。

7、点与平面的位置关系

设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0，P₀(x₀,y₀,z₀)是空间的任意一点，则

(1) 如果点的坐标满足方程，即有

则点P₀在平面上.

(2) 如果点P₀不在平面π上，则点P₀到平面π的距离为

8．平面与平面的位置关系

设两平面的方程为

(1) 两平面平行，有

(2) 两平面重合，有

(3) 两平面垂直，有

(4) 两平面夹角θ一般定义为两法向量相交的锐角，即

参考课件节选：

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