典型习题:(080100)点在空间直角坐标系中的描述
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习题与参考答案
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内容小结与知识点
【注】空间中的点在不同的空间直角坐标系中具有不同的坐标描述。因此,问题要放到空间直角坐标系中讨论与寻求解决办法时,应该根据具体的问题和自己所具有的知识结构,建立方便构建数学模型的合适的空间直角坐标系;也说明对于同一数学问题,可能因为建立的坐标系的不同,会有不同的数学描述形式。
1.空间直角坐标系
以空间中某一定点O为原点,引三条互相垂直的数轴构成的坐标系,称为空间直角坐标系.一般把三条数轴分别记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)和z轴(竖轴),这样的空间直角坐标系也一般记作O-xyz坐标系;三个坐标轴的正向通常要求符合右手法则:即以右手握住z轴,四指指向x轴正向,并以π/2角度将拳握向y轴正向,大拇指恰好指向z轴正向.
三个坐标轴决定三个坐标面,分别记作xOy、yOz和zOx平面,三个坐标面把空间分成八个卦限:把含有正向x轴、正向y轴及正向z轴的卦限定义为第一卦限,位于第一卦限xOy下方的部分定义为第五卦限;则坐标面xOy上方的四个卦限,从上往下看,按逆时针方向分别记作第I、II、III、IV卦限;在坐标平面xOy下方的四个卦限按逆时针方向分别是第V、VI、VII、VIII卦限.
2.空间中的点
取定空间直角坐标系之后,过空间点P分别做与三个坐标轴垂直的平面,则相应平面与x,y,z轴交点的坐标构成的有序三元数组(x,y,z)称为点P在空间直角坐标系中点的坐标,并将点记作P(x,y,z);并把x,y,z称为点P在x轴、y轴、z轴上的坐标分量;也称为点在各坐标的投影分量。
根据点的坐标可以确定点在空间直角坐标系中的位置;同样,通过建立合适的直角坐标系,也可以给出点在相应坐标系中的坐标。
3.特殊位置点的坐标
原点:(0,0,0)
坐标轴轴上的点:(x,0,0),x∈R
坐标轴轴上的点:(0,y,0),y∈R
坐标轴轴上的点:(0,0,z),z∈R
x,y,z为正数时,为正半轴上点,x,y,z为负数时为负半轴上的点。
坐标面xOy面上的点:(x,y,0),x∈R,y∈R
坐标面yOz面上的点:(0,y,z),y∈R,z∈R
坐标面zOx面上的点:(x,0,z),x∈R,z∈R
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