《向量值函数》基本概念：连续性、可导性和可微性及计算问题

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一、向量值函数的概念

一元函数是一个由定义域到值域的映射，其定义域与值域都是一维数集．向量值函数是指分量都是关于同一自变量的一元函数，就是说n元向量值函数是R到Rⁿ上的映射．

比如：二维向量值函数

三维向量值函数

它们分别描述了平面上和空间中的曲线.

二、向量值函数的极限与连续

以二维向量值函数为例：

对于二维向量值函数r(t)=f(t)i+g(t)j，设它在t₀的某去心邻域内有定义，如果

则称当t→t₀时，向量值函数r(t)的极限存在，其极限为

如果二维向量值函数r(t)=f(t)i+g(t)j在t₀的某邻域内有定义，且

则称向量值函数r(t)在点t₀处连续．

【注】二维向量值函数r(t)=f(t)i+g(t)j在t₀处连续的充分必要条件是其分量函数f(t)与g(t)在t₀处都连续．

三、向量值函数导数与微分的概念

设向量值函数r=r(t)在t的某邻域内有定义，如果极限

存在，则称向量值函数r(t)在t处可导，并称极限值为向量值函数r(t)在t处的导数，记为r’(t)或者dr(t)/dt．

【注1】r’(t)也是一个向量值函数．如果向量值函数r(t)在t处可导，那么它在点t处必连续．

【注2】设三维向量值函数r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k，其中各分量函数在点t处可导，则r(t)在点t处可导，且

【注3】如果一个向量值函数r(t)在区间I上满足r’(t)连续，且在区间I内r’(t)≠0，称r(t)在区间I上是光滑的．一条曲线如果由多段光滑曲线段组成，称这条曲线为分段光滑曲线．

【注4】向量组函数的微分：

四、向量值函数的求导法则

设u(t),v(t)为可导的向量值函数，f(t)为可导的数值函数，C为常向量（即C的各分量都为任意常数构成的向量），k为常数，则有

五、空间曲线的切线及法平面方程

设空间曲线为C:x=f(t),y=g(t),z=h(t)，则该曲线在点t₀处的切线向量为

【注】这样计算得到的切向量指向为曲线参数t增大的方向.

空间曲线C在点P(f(t₀),g(t₀),h(t₀))的切线方程为

称过点P且与向量T(t)垂直的平面为空间曲线C的法平面，其方程为

六、向量值函数的不定积分

(1) 向量值函数的原函数：设向量值函数r=r(t)在区间I内有定义，如果存在可导的向量值函数R(t)，使得对于区间I内的每一点，都有R’(t)=r(t)，则称向量值函数R(t)是r(t)在区间I内的一个原函数．

【注1】如果向量值函数R(t)是r(t)在区间I内的一个原函数，那么，R(t)的每个分量函数也是r(t)对应的分量函数在区间I内的一个原函数．

【注2】向量值函数r(t)在区间I内的任意原函数都具有R(t)+C的形式，其中C为常向量；

【注3】如果向量值函数r(t)在区间I内连续，那么，在区间I内它一定存在原函数．

(2) 向量值函数的不定积分：若R(t)是r(t)在区间I内的一个原函数，则

【注】向量值函数的不定积分可以通过计算其分量函数的不定积分得到．

七、向量值函数的定积分

设三维向量值函数r(t)=(f(t),g(t),h(t))在区间[a,b]上连续，定义该函数在区间[a,b]上的定积分为

向量值函数的定积分的牛顿—莱布尼兹公式：

设向量值函数r= r(t)在区间[a,b]上连续，R(t)是它在区间[a,b]上的一个原函数，则

【注】向量值函数定义，极限、连续性、导数、积分的讨论与计算，归结为各分量一元实值函数的讨论. 其对应的描述就是曲线的参数方程！具体解释、应用及例题参见下面列出的课件. 

参考课件节选：

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