典型习题：(080215)平面与直线的位置关系
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“平面与直线的位置关系”相关的知识点：
1．平面与直线的位置关系
设平面和直线的方程分别为：
并设n=(A,B,C)是平面π的法向量，s=(m,n,p)是直线L的方向向量，M0(x0,y0,z0)是直线L上的一点，则有：
直线L在平面π上⇔n⊥s且
Ax0+By0+Cz0+D=0.
(3) 直线L与平面π相交⇔Am+Bn+Cp≠0.
【注1】：点P在平面π上的投影为过点作平面的垂线，垂线与平面的交点为点在平面上的投影点。
【注2】：不与平面π垂直，且不在平面π内的直线L上不同两点在平面π上的投影点的连线构成直线L在平面π上的投影直线，简称投影线。直线L与它的投影线构成的平面与平面π垂直。
(4) 规定直线L与它在平面π上的投影线的夹角θ为直线与平面的夹角，即
【注1】：平面、直线的位置关系归结为直线的法向量、直线的方向向量之间位置关系的讨论。
【注2】：直线与平面相交，相交的交点的求解可以由平面方程与直线的一般式方程的三个平面方程构成的三元一次方程组求得；也可以将直线的参数方程代入平面的方程，通过求解参数值得到。
2．平面束方程
(1) 空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，直线叫做平面束的轴。
如果两个平面
交于一条直线L，那么以直线L为轴的平面束的所有平面方程可以表示为
其中λ,μ是不全为零的任意实数。
当λ=1,μ=0时，则表示平面π1的方程；λ=0,μ=1时，则表示平面π2的方程。
【注】：如果仅仅取μ=1，则平面束方程为
λ是不全为零的任意实数，则该方程能够表示的平面为除了平面π1的平面束中的所有平面；在利用平面束方程解决问题的过程中，减少了一个参数，简化问题求解过程，但是需要单独考虑平面π1。
(2) 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束。
空间中与平面π:Ax+By+Cz+D=0平行的平行平面束，或者说由平面π确定的平行平面束为
Ax+By+Cz+λ=0，
其中λ是任意实数.
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