典型习题：(080310)直纹面及其方程

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题分析、求解、小结讲解视频

习题与参考答案

内容小结与知识点

“直纹面及其方程”相关的知识点：

1．直纹面及其方程特征

由一族直线所形成的曲面称为直纹面。比如，柱面、单叶双曲面、双曲抛物面、锥面都可以由直线生成，所以它们的图形都为直纹面图形。

一般直纹面方程可以分解为相等的两两一次项或零次项乘积。

比如单叶双曲面方程

因此，根据比例关系，可以将上述等式用如下两个式子来描述

其中u,v为实数。

上面两组方程表示的都是直线，当u,v取不同的值时，构成不同的直线，所有这样的直线构成的直线族描述单叶双曲面的图形。

因此，如果我们能将一个方程描述为具有这样结构的表达式，则可以判断该曲面图形为直纹面。

2．柱面的定义

在空间中，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所构成的曲面叫做柱面；直观地讲，柱面就是由平行于一定直线L沿曲线C移动时所形成的曲面，或者说是由一条直线连续平移而形成的。其中曲线C叫做柱面的准线，直线L叫做柱面的母线．

【注1】柱面的准线、母线都不唯一。如果一个曲面可以描述为一族平行直线，则该曲面为柱面。

【注2】所有只包含两个变量的方程在空间直角坐标系中描述的图形都是柱面，而且这样的柱面的母线平行于另一变量对应的坐标轴，准线就是两个变量对应的坐标面上满足方程的平面曲线。

比如，方程F(x,y)=0在空间中表示一个柱面，其母线平行于z轴，准线可取为xOy面上方程F(x,y)=0描述的曲线；同理，方程G(y,z)=0表示一个母线平行于x轴的柱面；方程H(x,z)=0，表示一个母线平行于y轴的柱面．

【注3】平面也是柱面。可以看成是平面上的一条直线沿着另一条与之相交的共面直线移动而成。

【注4】柱面也可以看成是由准线沿着平行于母线的直线平移而形成的曲面。

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