典型习题：(080407)空间曲线的一般方程与投影柱面

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习题分析、求解、小结讲解视频

 

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习题与参考答案

 

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内容小结与知识点

 

 “空间曲线的一般方程与投影柱面”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．空间曲线的一般方程

空间曲线总可以看成是某两个曲面的交线．设两曲面的方程为

则两个曲面的交线Γ可以用方程组描述为

该方程组也称为空间曲线Γ的一般方程．

【注1】空间曲线的一般方程不唯一。可以用任意两个过空间曲线的曲面的方程构成的方程组来描述；并且空间曲线也位于描述空间曲线的一般方程中两个方程的线性组合构成的方程

（其中λ,μ为不全为零的实数）描述的曲面图形上。这样就可以用相对简单的曲面方程来描述曲线。

【注2】空间曲线的一般方程通过方程组变换，或者直接引入相关参数，可以将其转换为参数方程；同样，参数方程也可以通过两两消去参数，获得空间曲线的一般方程描述。

【注3】由于空间曲线的参数方程只包含有一个参数，其描述形式简单，所以解决与空间曲线的相关问题一般都将空间曲线用参数方程来描述。

2．一般方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程

设Γ是一条空间曲线，π是一个平面，曲线上每一点在平面上有一个垂足，曲线上的所有点在平面上的垂足所构成的曲线叫做曲线在平面上的投影曲线，简称投影，平面也称为投影面。

过曲线Γ上的每一点，都有平面π的一条垂线，这些垂线构成一个柱面，并且把这样的柱面称为曲线关于平面的投影柱面。

空间曲线在平面上的投影曲线就是投影柱面与平面的交线。

设空间曲线Γ的一般方程为

则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程可以通过方程组分别消去z、x、y变量得到。假设方程组消去变量z、x、y后得到的方程分别描述为

则以上三个方程分别描述了空间曲线关于坐标面xOy、yOz、zOx的投影柱面；并且空间曲线在三个坐标面上的投影曲线分别为

3．空间曲线的参数方程

一般地，空间运动的质点的轨迹对应一条空间曲线。曲线Γ上动点M的坐标x,y,z可以用一个参数t的函数表示为

【注1】空间曲线参数方程参数的意义可以为运动时间，也可以是转动角度、弧度，或者为坐标变量等。

4．一般空间曲线在指定平面上的投影曲线求解思路

设空间曲线Γ的一般方程为

投影面π的方程为

则空间曲线Γ在平面π的投影柱面方程可以通过构建一般曲面方程的方式得到，其步骤如下：

(1) 在投影柱面上任取一点M(x,y,z)；

(2) 由于投影柱面是由垂直于投影面，并经过空间曲线的直线构成，所以我们设经过点M的，方向向量取为平面法向量(A,B,C)的直线方程为

由于该直线必定与曲线Γ相交，所以存在t₀，使得

满足曲线Γ的方程，即有

(3) 利用上述方程组消去参数t₀，并化简，假设得到的方程为R(x,y,z)=0，则该方程就为曲线Γ关于平面π的投影柱面方程；而Γ在平面π上的投影曲线方程则可以用投影柱面方程与投影面方程构成的方程组来描述，即

5．参数方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程

设空间曲线Γ的参数方程为

则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程分别为x,y、y,z、z,x两个变量所对应的参数表达式描述的空间曲面；而投影曲线则只要令曲线Γ的参数方程的z,x,y分量分别为零即可。即空间曲线Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程与投影曲线方程为

【注1】空间曲面或立体图形在坐标面上的投影为空间曲面或围成立体的所有曲面上的点在坐标面上的投影点构成的平面区域，可以用投影区域的边界曲线为准线，垂直于坐标面的直线为母线形成的投影柱面与坐标面方程来描述。

【注2】空间直角坐标系中立体图形简图的绘制方法：在掌握基本立体几何形状，比如长方体、球体、柱体、平面、直线绘制的基础上，一般通过绘制一些关键性的曲线，比如围成立体图形的曲面的交线，平行于坐标面的平面截取空间图形所得的交线等，来描述图形的大致轮廓，帮助我们更好地理解和解决问题。

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