典型习题：(08041001)一般旋转曲面方程

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习题分析、求解、小结讲解视频

 

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习题与参考答案

 

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内容小结与知识点

 

“空间曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程”相关的知识点：

1．旋转曲面的定义

空间中，一条曲线绕一定直线旋转一周所得的曲面称为旋转曲面，定直线称为旋转曲面的旋转轴，曲线称为旋转曲面的母线．

2．空间曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程

空间曲线

绕z轴旋转一周所得旋转曲面的参数方程为

【注1】如果三个方程能够消去两个参数得到x,y,z的表达式，则也就可以直接得到旋转曲面的一般方程。

【注2】坐标面xOy，yOz，zOx绕位于各坐标面上的坐标轴旋转所得旋转曲面方程仅仅是这个习题的一种特殊情况。

3．一般旋转曲面方程求解的基本步骤

求一般旋转曲面方程的步骤可以描述为如下两步：

设旋转轴L的直线方程与母线Γ的曲线方程分别为

(1) 写出经过母线上任意点M(x_t,y_t,z_t)绕轴旋转的圆的方程，即

其中(x_L,y_L,z_L)为过点M与轴垂直的平面与轴直线的交点，即圆心坐标。

(2) 由M(x_t,y_t,z_t)的满足的母线Γ的曲线方程以及(1)中得到的方程组，消去x_t,y_t,z_t即得所求旋转曲面的方程。如果直线L为关于参数的方程，则点坐标M(x_t,y_t,z_t)为参数t的表达式，则圆心坐标M_L(x_L,y_L,z_L)也为参数t的表达式，因此，(1)中的方程组只包含有参数t，因此直接消去参数t就可以得到旋转曲面的方程。

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