典型习题：(080411)柱面及其与平面交线的方程

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题分析、求解、小结讲解视频

习题与参考答案

内容小结与知识点

“柱面及其与平面交线的方程”相关的知识点：

1. 构建图形数学描述形式的一般步骤

（1）针对实际问题，绘制草图，构建合适的空间直角坐标系。

【注1】当然根据问题的描述的方便，也可以是其他坐标系，比如在三重积分中我们要讨论的柱坐标系、球坐标系等。

【注2】如果问题本身带有坐标信息，则绘制坐标系，并根据坐标特征绘制草图。

（2）在图形上，或者空间任取一符合问题背景或相关几何意义的点，并设其坐标为M(x,y,z)。

（3）依据问题提供的条件，比如物理意义、几何意义、已有等式等，构建相关的等式，并转化为点M的坐标变量x,y,z的等式；或者通过适当引入参数，将点M的坐标变量x,y,z描述为有关参数的表达式，如果是平面图形或曲线图形，则一个参数；如果是曲面图形，一般为两个参数。

（4）化简相关等式，得到图形的方程描述形式。

2．柱面的定义

在空间中，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所构成的曲面叫做柱面；直观地讲，柱面就是由平行于一定直线L沿曲线C移动时所形成的曲面，或者说是由一条直线连续平移而形成的。其中曲线C叫做柱面的准线，直线L叫做柱面的母线．

【注1】柱面的准线、母线都不唯一。如果一个曲面可以描述为一族平行直线，则该曲面为柱面

【注2】所有只包含两个变量的方程在空间直角坐标系中描述的图形都是柱面，而且这样的柱面的母线平行于另一变量对应的坐标轴，准线就是两个变量对应的坐标面上满足方程的平面曲线。

【注3】平面也是柱面。可以看成是平面上的一条直线沿着另一条与之相交的共面直线移动而成。

【注4】柱面也可以看成是由准线沿着平行于母线的直线平移而形成的曲面。

3．柱面方程的建立步骤

(1) 写出过柱面准线上任意点(x₀,y₀,z₀)的母线方程，即过点(x₀,y₀,z₀)平行于定直线的直线方程；

(2) 由点(x₀,y₀,z₀)在准线上，满足的准线方程，所以由关于x₀,y₀,z₀的准线方程表达式及母线方程消去x₀,y₀,z₀，得到关于x,y,z的表达式，即为所求柱面方程。

4．空间立体图形的投影及边界曲线

空间曲面或立体图形在坐标面上的投影，为空间曲面或围成立体的所有曲面上的点，在坐标面上的投影点构成的平面区域，可以用投影区域的边界曲线为准线，垂直于坐标面的直线为母线形成的投影柱面与坐标面方程来描述。对于其他方式的投影区域求解可以参考这种方式。

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