《多元函数的基本概念》相关内容总结、题型与典型题

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1、邻域基本概念

设x₀是空间Rⁿ中的一点，δ是一个正常数，称空间Rⁿ中的点集

U(x₀,δ)={x||x- x₀|<δ}

为点x₀的一个δ邻域，其中，点x₀称为该邻域的中心，δ称为半径．

【注1】点x₀的一个δ邻域是Rⁿ中距离x₀不超过δ的点的集合．如果在点x₀的δ邻域中去掉中心点，则称所得集合为点x0的去心δ邻域，记作U₀(x₀,δ)，即

U0 (x₀,δ)={x|0<|x- x₀|<δ}．

【注2】如果不强调邻域的半径，则用U(x₀)及U₀(x₀)分别表示点x₀的某个邻域及某个去心邻域．常用点P₀表示点x₀，用点P表示点x．

特别地，当n=1时，邻域与一维数轴上点的邻域的定义是一致的．

当n=2时，点P₀(x₀,y₀)的δ邻域为平面点集：

在几何上它表示一个以P₀为圆心、δ为半径的圆周所围成的不含圆周本身的圆形区域．

当n=3时，点P₀(x₀,y₀,z₀)的δ邻域为空间点集：

在几何上它表示一个以P₀为球心、δ为半径的球面所围成的不含球面本身的球形区域．

2、点集相关概念与区域

平面中任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系中的一种：

(1) 内点：如果存在点P的某个邻域U(P)，使得U(P)包含于D，则称P为D的内点；

(2) 外点：如果存在点P的某个邻域U(P)，使得U(P)∩D=Ф，则称P为D的外点；

(3) 边界点：如果点P的任一邻域内既含有属于D的点，又含有不属于D的点，则称P为D的边界点．D的边界点的全体称为D的边界，记作∂D．

【注】D的内点必属于D，D的外点必不属于D，D的边界点可能属于D，也可能不属于D．

(4) 开集：如果点集D的点都是D的内点，则称D为开集；

(5) 闭集：如果点集D的余集是开集，则称D为闭集；

(6) 连通集：如果点集D内任何两点，都可以用D中的折线连结起来，则称D为连通集；

(7) 开区域：连通的开集称为开区域或区域；

(8) 闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域；

(9) 有界集：对于平面点集D，如果存在某一正数r，使得D包含于U(O,r)，其中O为原点，则称D为有界集．

3．二元函数的几何表示

若二元函数z=f(x,y)的定义域为区域D，那么，它在几何上就表示三维空间中的一张曲面．

用平面z=h_k（h_k是常数）去截割这个曲面，截得的截痕（曲线）Γ_k的方程为

曲线Γ_k在xOy平面上的投影是曲线C_k，它在xOy平面上的方程是

对于C_k上所有的点，函数f(x,y)所对应的函数值都是h_k．曲线C_k称为函数z=f(x,y)的等值线或称等高线，h_k称为高程．当h_k取不同值时，就可以画出函数z=f(x,y)对应的一系列等值线，将这些等值线想象地往竖直方向拉出高度h_k，就能得到该函数所表示的曲面的大致轮廓了．由这些等值线很好地反应了曲面的特征，对于由区域D内的等值线构成的图形也称为二元函数z=f(x,y)的等值线图。

4．判定二重极限不存在的思路

证明二元函数极限不存在，一般通过取特殊路径的方式来验证。如果在选定的路径上二元函数的极限不存在，则原极限不存在；如果在选定的两条路径上，函数有不同的极限值，即极限值不相等，也说明函数极限不存在。

路径的选择一般为：

(1) 坐标轴的方向：即x轴方向，y=0和y轴方向，x=0；它们又可分为

● x的正向，即y=0(x>0)与x的负向，即y=0(x<0)

● y的正向，即x=0(y>0)与y的负向，即x=0(y<0)；

(2) 沿着y=kx直线方向；

(3) 沿着抛物线方向，如y=kx²或多项式y=x^α-x^β对应的曲线方向等；

至于具体选择怎样的方法，一般根据函数的表达式，从简单到复杂逐步尝试；如果利用特殊路径得不出相应的结论，则可以直接使用极坐标的方法来进行判定。

(4) 极坐标方法。如果代入极坐标后，函数化简后的表达式的极限与极角的取值有关，则也说明极限不存在。

5．二重极限、累次极限相关的概念与关系

(1)点(x,y)以任意路径趋于(x₀,y₀)时，

(2)二重极限与累次极限

的关系为：

●如果它们都存在，则三者相等；

● 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.

例如,

在(x,y)→(0,0)时，两种顺序的累次极限都不存在，但二重极限存在。

【注1】一元函数极限的运算法则适用于多元函数极限的极限；多元函数的极限存在性的讨论一般建议首先考虑极坐标方法，特别注意极角的任意性；对于极限存在的情况下求极限一般也首先可考虑极坐标方法。

【注2】在二重极限的ε-δ定义中，圆邻域也可以换成方形邻域，即可以将

参见课件的第四张幻灯片和二重极限定义的两张幻灯片. 利用定义证明二重极限的思路与方法与一元函数极限定义证明极限结论的思路与步骤完全一致.

6．函数的连续性

初等多元函数在定义区域内都是连续的. 闭区域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质：

有界性定理、最值定理、介值定理

参考课件节选：

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