《偏导数》定义、计算内容总结、题型与典型题

点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦！

1．二元函数偏导数的定义

设函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某一邻域内有定义，当y固定在y₀而x在x₀处有增量△x时，相应地函数有关于x的偏增量

如果极限

存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)处关于自变量x的偏导数，记作

类似地，称极限

为函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)处关于自变量y的偏导数，记作

2．偏导函数的计算

●对于非间断点处，使用一元函数求导运算法则求多元函数关于某个变量的偏导数，求导过程中其余变量视为常数；

● 对于间断点的偏导数使用偏导数的定义判断偏导数的存在性，并计算偏导数；

● 对于具体点处的偏导数一般采用“先代后求”的计算法或者定义法计算偏导数.

3．二阶偏导数的定义

二元函数f(x,y)在区域D上的偏导数仍然是自变量x,y的函数，因此，进一步，对这两个偏导函数分别对x,y求偏导数，就产生下列四个二阶偏导数：

分别记作

4．混合偏导数相等的判定定理

定理如果函数z=f(x,y)的两个混合偏导数在点(x₀,y₀)处连续，则二阶混合偏导数与求导先后顺序无关：

【注1】对于分段函数的导函数或高阶导数在分界点的连续性和可导性的讨论，以及导数值的计算，一般都要先计算得到该函数的导函数以后，然后再使用定义的方法对分界点的连续性和可导性进行判定，或完成相关的计算。

【注2】由于二元初等函数及其各阶偏导数在其定义区域内连续，因而在定义区域内二元初等函数的二阶混合偏导数与x，y的先后次序无关．

参考课件节选：

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) 亲，都看到这里了，为咱们的坚持一起点！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容