《全微分》内容总结、题型与典型题

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1．全增量与全微分的基本概念

设函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某邻域内有定义，(x,y)为该邻域内的任意一点，记x=x₀+△x,y=y₀+△y,则自变量(x₀,y₀)变化到(x,y)的全增量为

如果函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)可微，则函数的全增量可以表示为

其中A,B是与自变量的增量△x,△y无关的量，并且把去掉无穷小量的部分称为函数的全微分，并记作dz，即有

2．函数可微的必要条件与充分条件

●必要条件：

并且可以推出z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的全微分为：

但函数在某点处偏导数存在，函数不一定可微.

【注】全微分为切平面函数(线性化函数)的函数值的增量.

● 充分条件：函数在某点处两个偏导数连续，则函数在该点可微. 但函数在某点处可微，偏导数在该点不一定连续.

3．偏导数与偏微分

设函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某一邻域内有定义，(x,y)为该邻域内的任意一点，记x=x₀+△x,y=y₀+△y,则函数关于x,y变量的偏增量与相应的偏微分为

由于它们其实就是一元函数的基本结论，因此对于偏增量也有相应的对于x变量，对于y变量的朗格朗日中值定理，即

4．叠加原理

全微分等于所有偏微分之和，即有

参考课件节选：

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