《多元函数微分学的几何应用》内容小结、题型与典型题
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1、空间曲面的切平面与法线
设曲面S的方程为F(x,y,z)=0,且函数F(x,y,z)有连续的偏导数,则曲面上点P0 (x0,y0,z0)处的法向量可以取为
依据平面的点法式方程,曲面S上点P0处的切平面方程为
依据直线的点向式方程,法线方程为:
特别地,当光滑曲面S由二元函数z=f(x,y)描述时,则可改写为三元方程描述形式:
则曲面S在点P0 (x0,y0,z0)处的法向量可以取为
于是曲面S在点P0的切平面方程为:
曲面S在点P0的法线方程为
2、空间曲线的切线与法平面
(1) 已知空间曲线的参数式方程求切线与法平面
设空间曲线C的参数式方程为
则在点(x(t0),y(t0),z(t0))处曲线的切线的方向向量可以取为
从而可得切线方程为:
法平面方程为:
(2) 已知空间曲线的一般式方程求切线与法平面
设空间曲线C的一般式方程为
的形式给出,P(x0,y0,z0)是曲线C上的一个点,在假定F(x,y,z),G(x,y,z)对各变量具有一阶连续偏导数以及雅可比行列式
不为零的条件下,则方程组在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内确定了一组具有连续导数的隐函数y=y(x)及z=z(x).从而在对应邻域内曲线C可以由参数方程
描述.曲线的切线方向向量则可以取为
这样,可以通过对方程组两端分别关于x变量求导数,计算得到两个导数dy/dx与dz/dx在点P的值.并且可以得到一般计算公式,即
从而由解线性方程组的克莱姆法则,只要两个导数的系数构成的行列式不为0,则可以得到
所以,切向量可以取为
【注】在实际计算过程中,一般不使用公式,而是采取直接利用方程组求解更加方便,有效。类似,也可以对y求导,将x,z视作函数;对z求导,将x,y视作函数. 分别取切向量为
相关题型与典型题参见下面给出的课件列表!
参考课件节选
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