典型习题：(100112)二重极限不存在的判定

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题分析、求解、小结讲解视频

习题与参考答案

内容小结与知识点

“二重极限不存在的判定”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．判定二重极限不存在的思路

证明二元函数极限不存在，一般通过取特殊路径的方式来验证。如果在选定的路径上二元函数的极限不存在，则原极限不存在；如果在选定的两条路径上，函数有不同的极限值，即极限值不相等，也说明函数极限不存在。路径的选择一般为：

(1) 坐标轴的方向：即x轴方向，y=0和y轴方向，x=0；

它们又可分为

● x的正向，即y=0(x>0)与x的负向，即y=0(x<0)

● y的正向，即x=0(y>0)与y的负向，即x=0(y<0)；

(2) 沿着y=kx直线方向；

(3) 沿着抛物线方向，如y=kx²或多项式y=x^α-x^β对应的曲线方向等；

至于具体选择怎样的方法，一般根据函数的表达式，从简单到复杂逐步尝试；如果利用特殊路径得不出相应的结论，则可以直接使用极坐标的方法来进行判定。

(4) 极坐标方法。如果代入极坐标后，函数化简后的表达式的极限与极角的取值有关，则也说明极限不存在。该方法可考虑为优先使用的方法！

2．二重极限、累次极限相关的概念与关系

(1)点(x,y)以任意路径趋于(x₀,y₀)时，f(x,y)→a

(2)二重极限与累次极限

的关系为：

● 如果它们都存在, 则三者相等；

● 仅知其中一个存在，推不出其它二者存在.

例如,

它在(0,0)点二重极限不存在.

在(x,y)→(0,0)时，两种顺序的累次极限都不存在，但二重极限存在。

【注】一元函数极限的运算法则适用于多元函数极限的极限；多元函数的极限存在性的讨论一般建议首先考虑极坐标方法，特别注意极角的任意性；对于极限存在的情况下求极限一般也首先可考虑极坐标方法。

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