典型习题：(100204) 偏导数的几何意义及应用

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习题分析、求解、小结讲解视频

 

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习题与参考答案

 

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内容小结与知识点

 

 “偏导数的几何意义”相关的知识点：

二元函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)处的偏导数f’_x(x₀,y₀)是曲面z=f(x,y)与平面y=y₀的交线，即是平行于zOx坐标面的平面y=y₀上的曲线z=f(x,y₀)在点P(x₀,y₀,f(x₀,y₀))处的切线的斜率，也就是切线与该平面和xOy的交线，沿x轴方向的夹角的正切，如果把切线平移到zOx面上的话，夹角就是切线对x轴的倾斜角．

类似地，f’_y(x₀,y₀)是平面x= x₀内曲线z=f(x₀,y)在点P(x₀,y₀,f(x₀,y₀))处的切线的斜率，也是该切线对y轴的倾斜角。并有

这样，由P点的坐标和切向量，可以求出这两条切线的方程。

另外，如果二元函数z=f(x,y)在(x₀,y₀)处两个偏导数都存在，则该函数对应的曲面在点(x₀,y₀,f(x₀,y₀))处的切平面的法向量可以取为上面两个切向量的叉积，即有

从而可得曲面在点(x₀,y₀,f(x₀,y₀))处的切平面为

法线方程为

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