典型习题：(100210)全增量与全微分

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题分析、求解、小结讲解视频

习题与参考答案

内容小结与知识点

“全增量与全微分”相关的知识点：

1．全增量与全微分的基本概念

设函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某邻域内有定义，(x,y)为该邻域内的任意一点，记x=x₀+△x,y=y₀+△y,则自变量(x₀,y₀)变化到(x,y)的全增量为

如果函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)可微，则函数的全增量可以表示为

其中A,B是与自变量的增量△x,△y无关的量，并且把去掉无穷小量的部分称为函数的全微分，并记作dz，即有

并且有

函数可微⇒函数连续，且偏导数存在，

也就可以推出z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的全微分为：

2．偏导数与偏微分

设函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某一邻域内有定义，(x,y)为该邻域内的任意一点，记x=x₀+△x,y=y₀+△y,则函数关于x,y变量的偏增量与相应的偏微分为

由于它们其实就是一元函数的基本结论，因此对于偏增量也有相应的对于x变量，对于y变量的朗格朗日中值定理，即

3．叠加原理

全微分等于所有偏微分之和，即有

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