典型习题：(100217)偏导数连续性与全微分之间的关系

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦！

解析视频

习题解答

相关小结

“偏导数的连续性与函数可微之间的关系”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．全微分的定义

设函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某邻域内有定义，如果存在与△x和△y无关的常数A和B，使得函数在点(x₀,y₀)的全增量

能够表示为△z=A△x+B△y+o(ρ), 其中

则称函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)处可微（或可微分），而A△x+B△y称为函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)处的全微分，记作

如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分．在一般点(x,y)处的微分，记作

dz=A△x+B△y或dz=Adx+Bdy.

类似有其他多元函数的全微分定义.

2．偏导函数的计算

对于非间断点处，使用一元函数求导运算法则求多元函数关于某个变量的偏导数；对于间断点的偏导数使用偏导数的定义判断偏导数的存在性，并计算偏导数.

3．函数可微的必要条件与充分条件

定理1设函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则函数在该点处必连续．

可微必连续；连续不一定可微。

定理2（可微的必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，那么，该函数在点(x,y)的偏导数必存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为

可微，偏导数必存在；偏导数存在不一定可微。

定理3（可微的充分条件）如果函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)连续，那么，函数在该点可微．

偏导数连续一定可微；可微偏导数不一定连续。

4．证明函数可微的方法

依据：全微分的定义和可微的必要条件（定理2）.

方法1：

即验证

极限是否为0，如果为0，则可微；否则，不可微。

方法2：证明函数在一点可微，也可以通过证明函数的偏导数(个变量的偏导数)在该点连续即可；不过偏导数不连续的话，并不代表函数在该点不可微，对于这种情况只能用方法1来进行验证。

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) 亲，都看到这里了，为咱们的坚持一起点！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容