典型习题：(100306) 二元抽象复合函数求偏导数

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

关小结

“二元复合函数求偏导数”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．多元复合函数求导数的基本步骤

(1) 确定最终函数与最终变量。

(2) 通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。

(3) 关键：绘制变量关系图。

(4) 链式法则：分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导。从最终函数到最终变量有几条路径就有几项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数；依据这个法则，就可以直接非常准确地写出计算式。

(5) 完成计算。

【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构一样。比如这里f’(y/x)的复合结构，与原函数f(y/x)的复合结构是一样的。

【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，一般先进行四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使用复合函数求导法则进行计算，将计算得到的结果代入原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。

2．隐函数F(x,y,z)=0的求导公式

定理：如果函数F(x,y,z)满足下述条件：

(1) F(x₀,y₀,z₀)=0,；

(2) F(x,y,z)在点(x₀,y₀,z₀)的某个邻域内具有连续的偏导数；

(3) F_z’(x₀,y₀,z₀)≠0，

则方程F(x,y,z)=0在点(x₀,y₀,z₀)的某一邻域内惟一确定一个二元函数z=z(x,y)，使得在点(x₀,y₀)的该邻域内恒有F(x,y,z(x,y))=0，且z₀=z(x₀,y₀)．同时，z=z(x,y)在点(x₀,y₀)的某邻域内具有连续的偏导数，并有

【注】用隐函数求导公式求一阶导数，在对某个变量求导数时，其他的变量都看成是常数。

3．全微分的形式不变性

设二元函数z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),则

因为

所以，有

它说明，无论函数z看作是自变量x,y的函数还是中间变量u,v的函数，其一阶微分表达式形式上是一样的，这一性质称为一阶微分形式不变性．

4．多元函数全微分的四则运算法则

【注】在使用全微分的形式不变性求全微分时，里面出现的所有变量都当作独立变量来进行微分运算。

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