《多元函数的条件极值与最值》内容小结、题型与典型题

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1．条件极值相关的概念

在实际中会遇到求一个函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，我们称之为条件极值问题．通常，称函数f(x,y)为目标函数，方程g(x,y)=0为约束条件，变量x,y为决策变量．相应地，把求一个函数的，只有定义域限制的（不带条件的）极值问题为无条件极值问题．

2．条件极值的求解方法

条件的极值问题的求解方法为无条件化的方法：

(1) 一种是通过约束条件降元转换为无条件极值，也称为代入法：如求二元函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，如果由g(x,y)=0可以解出y=y(x)，则可以将条件极值问题求解转换为一元函数的无条件极值问题，即求f(x,y(x))的极值。

(2) 一种方法是增元的方法，即拉格朗日乘子法：如求二元函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，可以通过令拉格朗日辅助函数

转换为求L(x,y,λ)的无条件极值问题的必要条件得到，其中参数λ称为拉格朗日乘子．并这种将求条件极值问题转化为求拉格朗日函数的无条件极值问题的方法称为拉格朗日乘子法．

(3) 二元函数的条件极值的图形化方法:即借助二元函数的等值线，考察当变量(x,y)在条件方程对应的曲线上移动时，等值线对应的函数值的变化来获取极值点位置和极值，如下图:

其依据是在极值点等值线与条件方程对应的曲线相切；从而有相同的切线与法线。依据两法向量平行，对应坐标成比例，并且切点坐标满足条件方程，可以得到极值点位置与极值；并且推导得到拉格朗日乘子法。

(4) 多自变量多条件的拉格朗日乘子法

对于求函数f(x,y,z)在条件g(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数．

将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为梯度为0，即 

对于求函数f(x,y,z)在条件g₁(x,y,z)=0与g₂(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数

将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为

【注】约束条件的个数最多只能是目标函数包含变量的个数减1.

3．闭区域上可微多元函数最值的求解步骤

第一步：找目标函数，确定定义域及约束条件；

第二步：找出所有可能的驻点，驻点包括由区域内部利用无条件极值得到的驻点和边界上由条件极值得到的驻点；

第三步：比较所有驻点的函数值，同时还需要考虑边界曲线的端点或者说尖点位置的函数值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值；另外也根据问题的实际意义来确定最值。

参考课件节选

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