典型习题：(100322)偏导数恒等式的变量转换

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

相关小结

“偏导数恒等式的变量转换”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．多元抽象复合函数求导数的基本步骤

(1) 确定最终函数与最终变量。

(2) 通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。

(3) 关键：绘制变量关系图。

(4) 链式法则：分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导。从最终函数到最终变量有几条路径就有几项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数；依据这个法则，就可以直接非常准确地写出计算式。

(5) 完成计算。

【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构一样。

【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，一般先进行四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使用复合函数求导法则进行计算，将计算得到的结果代入原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。

2．混合偏导数相等的判定定理

定理如果函数z=f(x,y)的两个混合偏导数在点(x₀,y₀)处连续，则

【注】由于二元初等函数及其各阶偏导数在其定义区域内连续，因而在定义区域内二元初等函数的二阶混合偏导数与x,y的先后次序无关．

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