典型习题：(100326)多元抽象函数偏导数恒等式证明与一阶常微分方程求解

点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦！

解析视频

https://v.qq.com/txp/iframe/player.html?vid=t0390chazlg&width=500&height=375&auto=0

习题解答

相关小结

“多元抽象函数偏导数恒等式证明与一阶常微分方程求解”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．多元抽象复合函数求导数的基本步骤

(1) 确定最终函数与最终变量。

(2) 通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。

(3) 关键：绘制变量关系图。

(4) 链式法则：

分段用乘, 分叉用加, 

单路全导, 叉路偏导。

从最终函数到最终变量有几条路径就有几项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数；依据这个法则，就可以直接非常准确地写出计算式。

(5) 完成计算。

【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构一样。

【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，一般先进行四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使用复合函数求导法则进行计算，将计算得到的结果代入原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。

2．求解一阶微分方程的基本思路

(1) 改写结构，对比标准可求解类型：适当变换微分方程描述形式，比对标准类型方程结构。常用的一阶微分方程的标准类型有：

●可分离变量的微分方程：

g(y)dy=f(x)dx，

具有这种结构的方程可以使用分离变量法求解，

●齐次方程：

令

将原方程转换为可分离变量的微分方程求解。

●一阶线性微分方程：

y'+P(x)y=Q(x).

当Q(x)恒等于0时，为齐次线性方程，使用可分离变量法求解；

当Q(x)不恒等于0时，为非齐次线性方程，基于对应的齐次方程的通解，使用常数变易法，或者说待定函数法求解；也可以直接利用通过常数变易法得到的通解计算公式

直接得到通解。

●伯努利方程：

y'+P(x)y=Q(x)yⁿ(n≠0,1).

通过两端同时除以yⁿ，令z= y^1-n，将方程转换为一阶线性微分方程求解。

●全微分方程：它的判定和求解方法，使用曲线积分相关的理论与方法求解。

(2) 变量替换，构建标准类型：对于不符合标准类型的方程，考虑对微分方程进行适当变换后，使用换元法将一阶微分方程

dy/dx=f(x,y)

的右边项f(x,y)的部分表达式用新的变量表示，或者其中的变量用新的变量表达式替换，将方程转换为一阶微分方程标准类型来求解。

(3) 对调因变量与自变量：将求解y函数转换为求x函数：

然后再对比标准类型；如果符合，则使用相应的思路求解；否则，在此思路上，再考虑第二种思路，通过变量替换转换为标准类型求解。

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) 亲，都看到这里了，为咱们的坚持一起点！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容