典型习题：(100327)偏导数恒等式与二阶常微分方程

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习题解答

相关小结

“偏导数恒等式与二阶常微分方程”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．多元抽象复合函数求导数的基本步骤

(1) 确定最终函数与最终变量。

(2) 通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。

(3) 关键：绘制变量关系图。

(4) 链式法则：

分段用乘, 分叉用加, 

单路全导, 叉路偏导。

从最终函数到最终变量有几条路径就有几项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数；依据这个法则，就可以直接非常准确地写出计算式。

(5) 完成计算。

【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构一样。

【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，一般先进行四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使用复合函数求导法则进行计算，将计算得到的结果代入原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。

2．二阶常系数齐次线性方程

设二阶常系数齐次线性方程y’’+py’+qy=0，求二阶常系数齐次线性微分方程可分三个步骤：

第一步，写出方程的特征方程r²+pr+q=0；

第二步，求出特征方程的根；

第三步，根据特征方程根的三种不同情况，写出微分方程的通解：

(1)两个不相等的实根r₁,r₂：

(2)两个相等的实根r₁=r₂=r：

(3) 一对共轭复根：r_1,2=α±βi(β≠0)：

3．高阶常系数齐次线性微分方程的求解

首先，求n阶常系数齐次线性方程

对应的特征方程

的根，然后，根据特征根的具体情形，在微分方程中写出对应的项：

(1)单实根r：给出一项

(2) k重实根r：给出k项

(3)一对共轭复根r_1,2=α±βi(β≠0)：给出两项：

(4)一对k重共轭复根r_1,2=α±βi(β≠0)：给出2k项：

最后以任意常数为系数线性组合给出通解表达式。

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