典型习题：(100412)方向导数与偏导数相关等式证明

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习题解答

相关小结

 “方向导数与偏导数相关等式证明”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．证明题可能的直接证明思路

对于数学中证明题的证明，除了一些技巧性特别强的问题，一般来说，它就是一个不断改写条件和结论的过程。即写出尽可能多的，由条件能够变形，或者推导得到一些与条件不同的描述的形式；同时也考虑将结论的描述形式，根据自己的理解写出一些不同的描述形式；或者根据逆推方法寻找其成立需要的条件；这样在互相推进的过程中，找到它们的结合点，甚至有时候就是将写出来的结论一拼凑，就得到了问题的证明过程。当然，最后的证明过程中并不一定会用到所有写出的结论和不同的描述形式。

2．方向导数的计算

定理设函数f(x,y)在点P₀(x₀,y₀)可微，那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在，且有

其中cosα,cosβ为向量u的方向余弦．

   一般地，当函数f(x,y,z)可微时，则它在点P(x,y,z)沿方向u（对应的单位向量为u^o=(cosα,cosβ,cosγ)）的方向导数为

3．向量的方向余弦与方向角

向量a=(a_x,a_y,a_z)与三个坐标轴正向的夹角称为向量的方向角。一般把向量与三个坐标轴的夹角记作α,β,γ，范围为[0,π]，它们的余弦称为向量的方向余弦。三个方向余弦的计算公式为：

且有

4．两向量垂直位置关系的判定

【注】：零向量与任何向量垂直.

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