典型习题：(100413)多元函数梯度相关等式的证明

考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

相关小结

“多元函数梯度的相关等式证明”题型的求解思路以及相关的知识点：

1. 多元函数的梯度

二元函数f(x,y)与三元函数f(x,y,z)的梯度（梯度向量），记作

分别定义为：

2．多元函数方向导数与梯度的关系

方向导数是函数梯度在方向向量u上的投影：

3．方向导数与梯度的应用

定理设f(X)在点X₀可微,u是一个n维非零向量，如果D_uf(X₀)>0，则u是f(X)在点X₀处的一个上升方向；如果D_uf(X₀)<0，则u是f(X)在点X₀处的一个下降方向．

(1) 梯度方向是函数值上升最快的方向，而函数值下降最快的方向是负梯度方向．通常，把梯度方向与负梯度方向分别叫做函数的最速上升方向与最速下降方向．

(2) 函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．

(3) 与函数f(X)在点X₀处的梯度方向成锐角（钝角）的任何方向都是f(X)在点X₀处的上升（下降）方向．

(4) 二元函数、三元函数的梯度向量分别是相应的等值线、等值面的法线的方向向量。

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