典型习题：(100416)梯度应用之最速上升方向

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

相关小结

“梯度应用之最速上升方向”题型的求解思路以及相关的知识点：

1. 多元函数的梯度

二元函数f(x,y)与三元函数f(x,y,z)的梯度（梯度向量），记作

分别定义为：

2．方向导数与梯度的应用

定理设f(X)在点X₀可微,u是一个n维非零向量，如果D_uf(X₀)>0，则u是f(X)在点X₀处的一个上升方向；如果D_uf(X₀)<0，则u是f(X)在点X₀处的一个下降方向．

(1) 梯度方向是函数值上升最快的方向，而函数值下降最快的方向是负梯度方向．通常，把梯度方向与负梯度方向分别叫做函数的最速上升方向与最速下降方向．

(2) 函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．

(3) 与函数f(X)在点X₀处的梯度方向成锐角（钝角）的任何方向都是f(X)在点X₀处的上升（下降）方向．

(4) 二元函数、三元函数的梯度向量分别是相应的等值线、等值面的法线的方向向量。

3．可分离变量的一阶微分方程求解方法

如果一阶微分方程

则可以将其写成

具有这种结构的方程可以使用分离变量法求解，即两端关于各自变量求不定积分，得到一阶微分方程的隐式通解

【注】以上过程f₂(y)≠0，因此它是否为解，并是否包含在隐式通解中，需要单独考虑。

4．微分方程建模与求解的基本思路与步骤

第一，根据已知条件，确定因变量与自变量；

第二，依据条件（物理意义、几何意义、实际背景）构建等式；

第三，将等式描述因变量关于自变量的导数，及因变量与自变量的关系式；

第四，求解微分方程；

第五，寻找初始条件确定任意常数，最后得到最终需要的结果。

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