典型习题：(11010701)不计算比较二重积分大小的适用问题类型及求解方法

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

相关小结

“不计算比较二重积分大小”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．不计算借助于二重积分性质来比较积分大小

问题类型1：积分区域相同，被积函数不同，通过分析被积函数的特征与彼此间的关系，比较同一积分区域上被积函数的大小，借助积分的保序性来比较积分的大小。

问题类型2：被积函数相同，积分区域不同，通过分析积分区域的特征及相互关系，借助积分对积分区域的可加性和保序性来比较积分的大小。

2．与之相关的二重积分的积分性质

性质1 (线性运算性质)设函数f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上可积，α,β为实常数，则有

【注】在应用中，利用线性运算性质可以拆分积分；利用逆运算，也可以将多个积分合并为一个积分。即同一区域上的两个不同函数的积分和，可以合并为被积函数的和在该积分区域上的积分。

性质2 (对积分区域的可加性)将有界闭区域D分成除边界外互不重叠的两个闭子区域D₁和D₂，若函数f(x,y)在区域D上可积，则有

性质3 (保序性) (1) 若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积且非负，则

(2) 若函数f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上可积，且在D上有f(x,y)≤g(x,y)，则

特别有绝对值不等式

性质4 (估值定理)若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积，且存在常数m和M使得在D上成立m≤f(x,y)≤M，则有

其中A为区域D的面积．

若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续且非负，D₁为D的闭子区域，则有

性质5(积分中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则至少存在一点(ξ,η)∈D，使得

其中A为区域D的面积．

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