《三重积分的概念与直角坐标系中空间区域的分类》内容小结、题型与典型题

点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦！

一、三重积分的物理意义与几何意义

物理意义：当被积函数f(x,y,z)>0时，表示体密度为f(x,y,z)的，占有空间立体区域Ω的物体的质量。

几何意义：当被积函数f(x,y,z)=1时，表示占有空间立体区域Ω的空间立体的体积。

【注】其他实际意义根据被积函数描述的对象不同而有不同实际意义.

二、三重积分的基本性质

三重积分的积分性质与二重积分相似。比如三重积分的中值定理为：设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，V为Ω的体积，则存在(ξ,η,ζ)∈Ω，使得

三、三重积分的计算性质

如果三重积分的被积函数整体，或者经过加减拆项后的某项关于某个变量，或者三个变量的奇偶性；积分区域整体，或者经过分割以后的某个部分具有关于坐标面或原点的对称性；积分区域具有关于直线x=y=z的轮换对称性，则三重积分可以借助如下“偶倍奇零”或者“轮换对称性”的计算性质来简化三重积分的计算。

1、三重积分“偶倍奇零”计算性质

如果三重积分的被积函数满足

即被积函数分别关于z变量、x变量、y变量、三个变量同时具有奇偶性；而如果相应的积分区域分别关于(a)xOy坐标面对称、(b)yOz坐标面对称、(c)zOx坐标面对称、(d)原点对称函数，并记其中一侧的区域为Ω₁，则

●当被积函数为奇函数时，有

●当被积函数为偶函数，有

2、三重积分的“轮换对称性”的计算性质

当描述积分区域的方程或不等式轮换x,y,z变量时，方程与不等式的描述形式不发生变化，如x²+ y²+z²≤R²的球域，则在这样区域上的三重积分满足轮换对称性，则

同样，如果积分区域关于平面x=y对称，则对于x，y变量具有轮换对称性，即

类似有积分区域关于平面y=z，z=x对称的轮换对称性计算性质。也即交换描述积分区域的等式或者不等式的两个变量，描述形式不变.

四、直角坐标系中空间区域的分类与数学描述

1、XY-型区域及其数学描述

与平面区域分类的命名方式及特征确定方式类似，为名称的统一，在空间直角坐标系下，将空间立体区域分成XY-型区域，YZ-型区域和ZX-型区域。

设有空间立体区域Ω，并设该区域在xOy坐标面的投影区域为D_xy，如果在D_xy内任取(x,y) ∈D_xy（即点(x,y)不在D_xy的边界上），过点(x,y)做与z轴同向的直线穿过立体区域，如果直线穿过区域Ω且与区域Ω的边界曲面的交点不多于两个，则称立体区域Ω为XY-型区域，如图1，图2。

如果直线穿过区域Ω时，与上下边界曲面的交点的竖坐标，即z的值都有统一的关于x,y变量的函数描述形式，则区域为简单XY-型区域。简单的XY-型区域可以用不等式描述为

其中D_xy通过将区域投影到xOy坐标面得到，区域在xOy坐标面上的投影区域就是x,y变量的取值范围，它可以通过分类成平面直角坐标系中或极坐标系中的简单平面区域，然后描述成不等式的描述形式。

z变量的取值范围一般为x,y变量的表达式，它通过在x,y变量的取值范围内任取一点做与z轴同向的直线穿过空间立体区域Ω得到，也即立体区域上限边界曲面所对应的、用x,y变量描述的函数表达式。所以，为获取简单XY-型区域的z变量取值范围，首先需要将区域Ω的上下边界曲面描述为x,y变量的函数表达式。

 (2) YZ-型和ZX-型区域及数学描述

类似，可以通过将空间立体区域投影到yOz面，zOx面，并在投影区域内任意取点，分别做与x轴、y轴同向的直线穿过立体区域来判定区域是否为YZ-型区域和ZX-型区域以及是否为简单YZ-型区域和简单ZX-型区域。

对于简单YZ-型区域和简单ZX-型区域，它们的不等式描述形式分别为

【注】如果区域不为相应的简单类型区域，则可以通过母线分别平行于坐标轴的柱面对其分割，分割成几个简单区域的并来讨论。

参考课件节选：

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) 亲，都看到这里了，为咱们的坚持一起点！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容