《三重积分直角坐标计算方法》内容小结、题型与典型题

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一、三重积分的先一后二的“投影法”的基本步骤

以简单XY-型区域（或称为关于z轴的简单区域）为例：首先将所有边界曲面方程改写成z是x,y的函数表达式，并确定相应的可能的x,y的取值范围.

第一步：投影

作出空间区域Ω的图形，将Ω投影到xOy平面上，得到投影区域D_xy，并对投影区域进行分类，写出明确的不等式描述形式:

第二步：确定关于变量z的积分限，并计算关于z的定积分

在投影区域D_xy上任取一点(x,y)，过(x,y)作平行于z轴的直线，该直线顺着z轴的方向从曲面S₁上点(x,y, z₁(x,y))处进入Ω，在曲面S₂上点(x,y, z₂(x,y))处离开Ω，得

计算关于z的定积分

第三步：计算二重积分

对计算得到的结果，以D_xy为积分区域计算二重积分，得三重积分的值．以上步骤用公式表示为： 

【注】对于立方体积分区域：对于这种情形，如果被积函数可变量分离，则三重积分即为三个定积分的乘积，即被积函数可以描述为三个变量的函数的乘积，如f(x,y,z)=f(x)g(y)h(z)，则

二、三重积分先二后一的“截面法”的基本步骤

以先对x,y变量求二重积分，再对z变量求定积分为例：

第一步：将Ω投影到z轴上，得z轴上的投影区间[a,b]；

第二步：过[a,b]上任意点z作垂直于z轴的平面，该平面与Ω的截面在xOy平面上的投影区域为D(z)．D(z)的方程即为边界曲面的方程中将z变量看成是常数对应的二元方程描述为边界曲线的平面区域.

第三步：在D(z)上借助二重积分的计算方法计算其中z在这里为常数。

第四步：对计算得到的结果在[a,b]上求定积分，即

三、三重积分的直角坐标计算方法注意事项

【注1】对于直角坐标系下三重积分的计算，积分区域简单类型的确定非常关键，根据简单类型不等式的描述形式，就可以直接写出三重积分的累次积分表达式，从而通过定积分计算的方法计算得到三重积分的结果。

【注2】对于其中出现的先二后一与先一后二计算过程，对于考虑的二重积分，可以根据积分区域选择二重积分的直角坐标计算方法，或者极坐标计算方法。

【注3】在具体的三重积分计算过程中，在考虑积分区域的分类之前，一般事先最好仔细考察三重积分的被积函数与积分区域的特点，如果发现积分区域整体，或者通过分割后的部分具有关于坐标面对称特征；并且被积函数整体，或者通过加减拆项后，部分函数具有与区域对称性相匹配的变量的奇偶性时，则应该先考虑借助“偶倍奇零”的计算性质来简化计算过程；同样，如果积分区域关于x,y,z变量具有轮换对称性时，也可以考虑轮换对称性来简化或转换积分计算。

参考课件节选：

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