《定积分与重积分计算的换元法》内容小结、题型与典型题

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一、定积分的换元法

设φ(t)为D_t=[α,β]上的单调连续可微函数，f(x)在φ(α),φ(β)构成的闭区间D_x上连续，其中

如果φ(α)<φ(β)，则D_x=[φ(α),φ(β)]；

如果φ(β)<φ(α)，则D_x=[φ(β),φ(α)]；

则有如下定积分换元公式：

【注】依据定积分换元的“下限对下限，上限对上限”的换元计算原则：

●当φ(t)单调递增，φ’(t)>0，则即有积分

●当φ(t)单调递减，φ’(t)<0，则即有积分

即在两端都符合定积分的标准形式，下限小于上限的情况下，具有如上统一的积分式。积分下限小于积分上限，即可以直观认为dx，dt都为线段(区间)的长度，所以都要求大于0，也即标准定积分形式要求变量微元大于。这与重积分的dσ、dV表达式面积、体积要求大于0要求一致。

二、重积分的换元法

一般性结论：设f(X)在有界闭区域D_X上连续，存在一对一的变换T:X=X(U)将闭区域D_U变换成D_X，且满足：

a) X(U)在D_U上有一阶连续偏导数；

b)在D_U上雅克比行列式J(U)=∂X/∂U≠0，

则有

●二重积分：T:x=x(u,v),y=y(u,v)，则雅克比行列式为二重积分的换元公式为：

●三重积分：

T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)，则雅克比行列式为三重积分的换元公式为：

三、典型应用结果

●二重计算的极坐标计算公式：

●三重计算的柱坐标计算公式：

●三重计算的球坐标计算公式： 

参考课件节选：

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