《重积分的几何应用》内容小结、积分模型与典型题

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一、重积分应用建模的基本思想与步骤

(1) 基本思想：元素法（微元法）

(2) 建模步骤：分割取近似，作和求极限

可以积分计算的量：所求量分布在有界闭域上的整体量，对区域具有可加性

用重积分解决问题的方法：用微元分析法 (元素法)、从积分定义出发建立积分模型。 

二、二重积分的几何意义

1．平面区域的面积

平面区域D的面积为被积函数为1的二重积分，即

2．曲顶柱体的体积

被积函数f(x,y)≥0的二重积分，即以xOy面上的平面区域D为底，以其边界为准线、母线平行于z轴的柱面为侧面，顶面为z=f(x,y)的描述的曲面的曲顶柱体的体积，即

三、三重积分的几何意义

空间区域Ω的立体体积为被积函数为1的三重积分，即

四、空间立体体积的积分模型

基于平顶柱体的体积计算公式，即底面积乘以高，对于简单类型的立体区域，有如下立体体积的计算模型：

1．简单XY-型立体区域的体积

即空间区域Ω可以描述为

的立体区域Ω的体积为

2．简单YZ-型立体区域的体积

即空间区域Ω可以描述为的立体区域Ω的体积为

3．简单ZX-型立体区域的体积

即空间区域Ω可以描述为的立体区域Ω的体积为

【注】对于其他立体，可以通过母线平行于坐标轴的柱面将其分割为一些简单区域，然后借助以上模型分别计算再求和。 

五、曲面面积的积分模型

基于“以平代曲”，以切平面的面积近似曲面的面积，对于简单类型的曲面，有如下曲面面积的计算模型：

1．简单XY-型曲面的面积

即曲面∑可以描述为的曲面∑的面积为

2．简单YZ-型曲面的面积

即曲面∑可以描述为的曲面∑的面积为

3．简单ZX-型曲面的面积

即曲面∑可以描述为的曲面∑的面积为

4．球坐标系下的曲面面积的计算

求坐标系下，面积微元可以近似为半径为a的球面的表面积来计算，即有从而有

如求球心在原点，半径为a的球面的面积计算。

【注】对于其他曲面，可以通过母线平行于坐标轴的柱面将其分割为一些简单区域，然后借助以上模型分别计算再求和。

六、积分模型的计算模型

由于积分应用中构建的模型分别描述为面积微元dσ、体积微元dV、面积微元dS的描述形式，它们最终的计算在不同坐标系中对应于不同的变量微元描述形式，因此，对于这样由面积、体积微元描述的形式我们称之为积分模型；对于在不同坐标系中描述为变量微元的形式，如

的积分模型称为计算模型。如：另外如计算曲面面积直接得到的dxdy，dydz，dzdx积分描述形式计算公式。

【注】对于二重积分的面积元素dσ、三重积分的体积元素dV，曲面的面积元素dS的坐标变量描述形式不一定对应着两个变量、三个变量的乘积描述，根据微元选取方式的不同，微元描述的变量个数可能会少于以上描述的个数，比如面积元素可能描述为一个变量微元形式，体积元素可能描述为两个变量形式，甚至一个变量描述形式，这样二重积分模型的计算就不一定需要计算两次累次积分，三重积分模型的计算也不需要计算三个累次积分。

参考课件节选：

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