《重积分的物理应用》内容小结、积分模型与典型题

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一、重积分应用建模的基本思想与步骤

(1) 基本思想：元素法（微元法）

(2) 建模步骤：分割取近似，作和求极限

积分模型所能计算的量：所求量分布在有界闭域上的整体量，对区域具有可加性

用重积分解决问题的方法：用微元分析法 (元素法)、从积分定义出发建立积分模型

二、质量积分模型

1．平面薄片的质量

模型基于物理上的质量计算公式，即均匀面密度为ρ，面积为A的平面薄片的质量M计算公式，即

面密度为f(x,y)>0，分布在xOy坐标面上区域D的平面薄片的质量为如果将平面区域所在区域定义为yOz面或zOx面，则有

2．空间立体的质量

构建质量计算模型基于物理上的质量计算公式，即均匀体密度为ρ，体积为V的空间立体的质量M计算公式，即

体密度为f(x,y,z)>0，占有空间区域Ω的空间立体的质量为

三、质心积分模型

质心又称为重心，它与物体的平衡状态有关，在研究该物体的有关力学系统的某些问题时，等价于研究将物体的质量全部集中在质心的质点的相关力学问题．构建空间物体的质心计算模型基于物理上分布于空间位置(x_i,y_i)的质点系m_i(i=1,2,…,n)的质心计算公式，即

其中为M质点组的总质量，

M_yz，M_zx，M_xy分别为质点组关于yOz,zOx,xOy平面的力矩。

【注】把分布于平面的质点系，或分布于直线上的质点系看成是分布于空间直角坐标系中坐标面上，或坐标轴上的质点系，则可以得到相应的质点计算公式。

1．空间立体的质心计算模型

体密度为μ=μ(x,y,z)，占有空间立体区域Ω的立体的质心计算模型为：

【注】当物体的密度为常数μ(x,y,z)= μ时，质心称为物体的形心，此时有

其中V为立体的体积。

2．平面薄片的质心

面密度为μ=μ(x,y)，占有平面区域D的平面薄片的质心计算模型为：

特别地，当μ(x,y)= μ为常数，即平面薄片密度分布均匀时，得到 

其中A为该薄片的面积．此时的质心只与薄片的几何形状有关，质心称为平面薄片的形心。 

四、转动惯量积分模型

当物体绕轴转动，用来描述转动物体所储存的能量的物理量是转动惯量（或称为惯性矩、二阶矩）．

构建转动惯量的计算模型基于如下计算公式：它表示质量为m，距离轴L的距离为r的质点绕轴L转动所产生的转动惯量。

1．平面薄片转动惯量计算模型

面密度为μ=μ(x,y)，占有平面区域D的平面薄片关于x轴、y轴、原点的转动惯量计算模型为：

2．空间立体转动惯量计算模型

体密度为μ=μ(x,y,z)，占有空间立体区域Ω的立体关于x轴、y轴、z轴、原点心计算模型为：【注】使得

成立的R_x，R_y，R_z称为物体关于相应轴的旋转半径，其中M为物体的质量。

五、物体对质点的引力积分模型

构建物体对质点的引力模型基于质点间的万有引力计算公式、力（向量）的分解和合成计算公式，即其中F_x，F_y，F_z为质点间的引力F关于x轴、y轴、z轴方向上的分力，α,β,γ为力的三个方向角。

基于共线力的合成为力的代数和的结论，以三个坐标轴上的分力代数和构成的向量为最终的物体对质点的引力，引力的大小为 

体密度为μ=μ(x,y,z)，占有空间立体区域Ω的立体对位于(a,b,c)，质量为m的质点的引力在三个坐标轴方向分量的大小分别为

【注】平面上的引力，即相应一个分量的坐标为0即可.

参考课件节选：

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