典型习题：(110226)二重积分求空间立体体积及应用

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

【习题】一个底半径为1 m,高为6 m的开口圆柱形水桶，在距底2 m处有两个小孔，其连线与轴线相交．试问该桶至多能盛多少水？

【参考答案】建立坐标系如图，如图1。根据建立的坐标系，只要从立体区域在yOz面上投影来考察问题，水平面方程就是yOz面上的直线的方程。

图1

当桶子立着放置的时候，水平面方程为z=2,V₁=2π；桶子倾斜，直到水平面经过左边的顶点(0,-1,0)，水的体积一直不发生变化都为2π。

当再逐渐斜立，设水平面与xOy面的夹角为α，则水平面的方程为z=ytanα+2=ky+2；并且最大的倾斜程度是水平面过点(0,1,6)点，将点坐标代入水平面方程，可得6=k+2，即k=4；最小值的位置为过点(0,-1,0)，即0=-k+2，可得k=2。

计算当2<k≤4时水平面为z=ky+2时，水平面下面桶子的体积。

图2