《对坐标的曲线积分及基本计算方法》内容小结、题型与典型题

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一、对坐标的曲线积分的物理意义

1．变力沿曲线作功

某一物体沿着位于力场 

内的路径ΓA→B从A移动到B，则力场对该物体所做的功基于“元素法”可得积分模型为 

其中ds=(△x,△y,△z)为所取弧长微元ds从运动起点(x,y,z)到终点(x+△x,y+△y,z+△z)的位移，该微元段的力近似为该微元中任意点的力. 

由数量积的物理意义，可以得到如上的积分模型(分割取近似，作和求极限)，并根据求和的性质可得

对于平面力场和平面运动路径：

则物体在力场F中沿曲线路径LA→B从A移动到B作功的计算公式

2．相关计算性质

(1) 积分的方向性：由物理上作功的方向性，有

(2) 方向的一致性：对于曲线分段积分的可加性，注意保证方向的一致性，其起点、终点首尾相接。

(3) 注意使用图形的对称性要考虑方向也要求对称，即关于坐标轴折叠图形与方向要能完全重合，这个时候可以考虑“偶零奇倍”，同样“轮换对称性”为反轮换对称性。由于条件方向限制很容易用错，所以一般不使用！

二、对坐标的曲线积分的直接计算方法思路与步骤

第一步：写出积分曲线的参数方程，并写出参数的取值范围，明确起点的参数值与终点的参数值。

第二步：直接将被积表达式中的所有变量用各变量的参数表达式替换，写成关于参变量的定积分描述形式，并且积分的下限取为有向积分曲线起点的参数值，上限取为终点对应的参数值，写出定积分表达式。

如平面曲线L与空间曲线Γ的参数方程为： 

则有

第三步：计算定积分得到最终积分结果。

【注1】如果积分曲线不能用一个参数方程描述，则对积分曲线进行分段处理，并对各分段曲线按照上面的步骤计算出相应的积分值，然后依据积分对积分曲线的可加性，累加各积分值得到最终结果。

【注2】对于曲线积分，不论是对弧长的还是对坐标的曲线积分，描述积分曲线的等式可以直接代入被积函数转换或者简化被积函数。

三、两类曲线积分之间的关系

将曲线Γ的切向量r’(t)化为单位向量则有

即有

其中T=T(x,y,z)为积分曲线Γ在(x,y,z)处的单位切向量，其方向为顺着积分曲线Γ的方向. 即有 

 其中(cosα,cosβ)为与积分曲线L同向的曲线的单位切向量； (cosα,cosβ,cosγ)为与积分曲线Γ同向的曲线的单位切向量。

四、对坐标的曲线积分的物理应用

设在平面上某区域D中分布一向量场 

L为D内的简单光滑闭曲线，其方程为

由a变至b对应L的逆时针方向. 称积分

分别为场沿曲线L的环量和通过L的流量，其中T为L在(x,y)处与L方向一致的单位切向量，即

n为L在(x,y)处指向外侧的法向量，假设向量场v为流速场，则环量和流量分别刻画了向量场沿曲线L流动的速度和通过L的流动速度.

切向量与外法向量的关系

从而由两类曲线积分之间的关系：

环量可表示成下面对坐标曲线积分的形式

由于L上的外侧单位法向量n为 

流量可表示为对坐标的曲线积分 

因此，对于向量场，沿场中闭曲线L的环量和通过L的流量分别为

参考课件节选：

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