典型习题：(120108)对弧长的曲线积分的基本计算方法

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

相关小结

“对弧长的曲线积分的基本计算方法”题型的求解思路以及相关的知识点：

关于对弧长的曲线积分，不管积分曲线是平面曲线还是积分曲线，其基本计算方法可以统一归结如下几个步骤：

第一步：写出积分曲线的参数方程，并写出相应的参变量取值范围

如积分曲线直接由参数方程给出：

(1)积分曲线L由参数方程L:x=x(x),y=y(t), t∈[a,b]确定，此步忽略；

(2)当积分曲线由L:y=y(x), x∈[a,b]确定，则其参数方程可写成

x=t,y=y(t), t∈[a,b]；

(3)当积分曲线由极坐标方程L:ρ=ρ(θ), θ∈[α,β]确定，或者曲线用极坐标描述比较简单时，可以从直角坐标方程转换为极坐标方程描述，则相应的参数方程可以写作

则x=ρ(θ)cosθ, y=ρ(θ)sinθ), θ∈[α,β]。

(4)空间曲线的参数方程：

Γ:x=x(x),y=y(t),z=z(t),a≤t≤b, t∈[a,b]，

确定。它一般由实际意义直接构建，或者由空间曲线的一般方程转换描述形式得到。

第二步：将弧微分写成参变量微分表达式

如果将积分曲线的参数方程用向量值函数r=r(t)表示，则弧微分ds统一可以表示为ds=|r’(t)|dt，其中r’(t)表示的是参数方程的两个或三个参数表达式，关于参变量的导数构成的向量的模。即有

第三步：将参数表达式和弧微分直接代入被积表达式，以参变量的取值范围的左端点为积分下限，以右端点为积分上限，将对弧长的曲线积分写出定积分表达式

(1) 积分曲线为平面曲线为L: x=x(x),y=y(t), t∈[a,b]时，则有

(2) 积分曲线为平面曲线为Γ:x=x(x),y=y(t),z=z(t),a≤t≤b, t∈[a,b]时，有

第四步：利用定积分的计算方法计算定积分

【注1】如果积分曲线是由分段光滑的曲线构成，并且不能用一个统一的参数方程来描述的话，则要对积分曲线进行分段，如L=L₁+L₂，对于每一段使用以上的计算方法进行计算，然后基于积分对积分曲线段的可加性，有

【注2】对弧长的曲线积分具有与二重积分(二重积分)、三重积分(空间曲线)类似的“偶倍奇零”和“轮换对称性”的计算性质。

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