典型习题：(120117)对坐标的曲线积分的基本计算方法

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

相关小结

“对坐标的曲线积分的基本计算方法”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．对坐标的曲线积分的基本计算方法的计算思路与步骤：

第一步：写出积分曲线的参数方程，并写出参数的取值范围，明确起点的参数值与终点的参数值。

第二步：直接将被积表达式中的所有变量用各变量的参数表达式替换，写成关于参变量的定积分描述形式，并且积分的下限取为有向积分曲线起点的参数值，上限取为终点对应的参数值，写出定积分表达式。

第三步：计算定积分得到最终积分结果。

【注1】如果积分曲线不能用一个参数方程描述，则对积分曲线进行分段处理，并对各分段曲线按照上面的步骤计算出相应的积分值，然后依据积分对积分曲线的可加性，累加各积分值得到最终结果。

【注2】对于曲线积分，不论是对弧长的还是对坐标的曲线积分，描述积分曲线的等式可以直接代入被积函数转换或者简化被积函数。

2．格林公式及应用条件

定理：(1) 积分曲线为封闭曲线L；(2) 积分曲线的方向相对于其围成的封闭区域D以左手法则判定为正方向；(3) 在闭区域上，两个二元函数P(x,y)和Q(x,y)存在有一阶连续偏导数，则有

3．二重积分的换元法

设二元函数f(x,y)在xOy面上的闭区域D_xy上连续，一对一的变换

T：x=x(u,v),y=y(u,v).

将uOv面上的闭区域D_uv变换到D_xy，且满足

(1) x(u,v),y(u,v)在D_uv上有一阶连续偏导数；

(2) 在D_uv上雅可比行列式

则有

【注1】二重积分的极坐标计算公式换元法的一个结果，即令x=ρcosθ,y=ρsinθ，则有J=ρ，所以有

【注2】如果J≠0，有

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