典型习题：(120118)三重积分与曲线积分综合题求解
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习题解答
相关小结
“三重积分与曲线积分综合题求解”题型的求解思路以及相关的知识点：
1. 三重积分“先二后一”的“截面法”的基本步骤
以先对x,y变量求二重积分，再对z变量求定积分为例：
(1) 将Ω投影到z轴上，得z轴上的投影区间[a,b]；
(2) 过[a,b]上任意点z作垂直于z轴的平面，该平面与Ω的截面在xOy平面上的投影区域为D(z)．
(3) 在D(z)上计算
其中z在这里为常数。
(4) 对计算得到的结果在[a,b]上求定积分，即
2．对弧长的曲线积分的计算步骤
(1) 写出积分曲线的参数方程，并写出相应的参变量取值范围；
(2) 将弧微分写成参变量微分表达式
(3) 将参数表达式和弧微分直接代入被积表达式，以参变量的取值范围的左端点为积分下限，以右端点为积分上限(即积分下限小于积分上限)，将对弧长的曲线积分写出定积分表达式
(4) 利用定积分的计算方法计算定积分
【注1】如果积分曲线是由分段光滑的曲线构成，并且不能用一个统一的参数方程来描述的话，则要对积分曲线进行分段，然后基于积分对积分曲线段的可加性，累加积分结果得到最终需要的结果。
【注2】对弧长的曲线积分具有与二重积分类似的“偶倍奇零”和“轮换对称性”的计算性质。
3．积分上限函数的导数
设函数f(x)在[a,b]上连续，则函数
设f(x)连续，ψ(x)，φ(x)可导，则由复合函数求导数，有
4．一阶线性微分方程的求解思路
y'+P(x)y=Q(x).
当Q(x)等于0时，为齐次线性方程，使用可分离变量法求解；
当Q(x)不恒等于0时，为非齐次线性方程，基于对应的齐次线性方程的通解，使用常数变易法，或者说待定函数法求解，即将齐次线性方程的通解中的任意常数C设为函数C(x)，代入非齐次线性方程求出C(x)得非齐次的通解；也可以通过求齐次线性方程的一个特解，然后利用解的结构：
非齐次线性方程的通解=齐次线性方程的通解+非齐次线性方程的一个特解
来得到非齐次线性方程的通解；或者直接利用通过常数变易法得到的通解计算公式
直接得到通解。
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