《积分与路径无关及全微分方程》内容小结、题型与典型题

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一、积分与路径无关的等价描述

定理 设D为xOy平面上的单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D内有连续的一阶偏导数，则下面的四种说法等价：

(1) 在区域D内存在可微函数u(x,y)，使得

(2) 在区域D内成立

(3) 对于任何一条完全落在区域D内的光滑或分段光滑的闭曲线L，有

(4) 对于区域D内的任何两点A,B，积分的值只与A,B两点的位置有关，而与A间B的曲线在区域D内的路径无关.

二、原函数的基本概念

对于单连通区域D上的微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy，若存在D上的可微函数u(x,y)使得则称函数u(x,y)为微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函数。并且由积分与路径无关，通过取平行于坐标轴的折线段，任取一个保证折线路径上两个函数偏连续的起点(x₀,y₀)，可得

【注】积分路径上（包括端点）不能有被积函数偏导数不连续的点。

三、求全微分方程通解的基本步骤与思路

第一步：将一阶微分方程改写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0形式，并判定

是否成立，如果成立则为全微分方程；

第二步：利用积分与路径无关，任取一定点(x₀,y₀)为起点，终点为变量(x,y)构成的点为积分路径，选取特殊路径求得原函数u(x,y)的表达式（一般路径选取为平行于坐标轴的直线段为积分路径），即

第三步：令u(x,y)=C即得原微分方程的隐式通解。

【注1】值得注意的是，选取的路径不能经过两个函数偏导数不连续点。

【注2】这里得到的函数u(x,y)也称为全微分表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一个原函数。对于这样的被积表达式的积分也可以直接等于原函数在终点的取值减去起点的取值得到。

四、积分因子法

如果微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0不是全微分方程，我们可以通过两端乘以一个函数μ(x,y)，使得转换成一个全微分方程，那么函数μ(x,y)称为微分方程的一个积分因子。从而对可以采用全微分方程的求解步骤得到微分方程的解，对于这样求解微分方程通解的方法称之为积分因子法。

参考课件节选：

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