典型习题：(120119)两类曲线积分之间的关系与格林公式

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习题解答

相关小结

“两类曲线积分之间的关系”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．两平面曲线积分之间的关系

其中(cosα,cosβ)为与积分曲线同向的曲线的单位切向量。

2．格林公式

当(1)积分曲线为闭曲线L；

(2)积分曲线L的方向相对于其围成的封闭区域D以左手法则判定为正方向；

(3)在闭区域上，两个二元函数P(x,y)和Q(x,y)存在有一阶连续偏导数，则有

【注1】正确使用以上标准格林公式，三个条件：闭曲线、正方向、闭区域上的偏导连续性，一个都不能少。

【注2】格林公式中闭区域的边界曲线不取由左手法则确定的正向，而是取相反的方向时，则借助于对坐标的曲线积分的方向性计算性质，有

即不管边界曲线取什么方向，有

利用“左手法则”判断为正方向，则取正；否则取负。

【注3】判断平面区域的边界曲线正向的“左手法则”：当沿着边界曲线的正方向行走时，平面区域应该位于我们左手一侧，所以对于单连通区域，即只有外边界曲线的实心区域来说，曲线的正方向为逆时钟方向；对于多连通区域，则边界曲线由内外边界曲线构成，外边界曲线的正方向为逆时钟方向，内边界的边界曲线为顺时钟方向。

【注4】注意封闭曲线切向量方向与外法线方向的关系。如果切向量方向为T⁰=(cosα,cosβ)（T=(x’(t),y’(t))），则当曲线的切向量指向为逆时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n⁰=(cosβ,-cosα)（n=(y’(t),-x’(t))）；当曲线的切向量指向为顺时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n⁰=(-cosβ,cosα)（n=-(y’(t),-x’(t))）。即曲线的法向量与切向量的关系为：n=±(y’(t),-x’(t))。取正号时，法向量为切向量顺时钟旋转90度得到；取负号时，法向量为切向量逆时钟旋转90度得到。

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