典型习题：(120210)全微分方程求解的积分方法

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习题解答

相关小结

“全微分方程求解”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．原函数的基本概念

对于单连通区域D上的微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy，若存在D上的可微函数u(x,y)使得

则称函数u(x,y)为微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函数。并且由积分与路径无关，通过取平行于坐标轴的折线段，任取一个保证折线路径上两个函数偏连续的起点(x₀,y₀)，可得

【注】积分路径上（包括端点）不能有被积函数偏导数不连续的点。

2．求全微分方程通解的基本步骤与思路

第一步：将一阶微分方程改写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0形式，并判定

是否成立，如果成立则为全微分方程；

第二步：利用积分与路径无关，任取一定点(x₀,y₀)为起点，终点为变量(x,y)构成的点为积分路径，选取特殊路径求得原函数u(x,y)的表达式（一般路径选取为平行于坐标轴的直线段为积分路径），即

第三步：令u(x,y)=C即得原微分方程的隐式通解。

【注1】值得注意的是，选取的路径不能经过两个函数偏导数不连续点。

【注2】这里得到的函数u(x,y)也称为全微分表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一个原函数。对于这样的被积表达式的积分也可以直接等于原函数在终点的取值减去起点的取值得到。

3．求解一阶微分方程的基本思路

(1)改写结构，对比标准可求解类型

适当变换微分方程描述形式，比对标准类型方程结构。常用的一阶微分方程的标准类型有：

●可分离变量的微分方程：

具有这种结构的方程可以使用分离变量法求解，

●齐次方程：

将原方程转换为可分离变量的微分方程求解。

●一阶线性微分方程：

当Q(x)恒等于0时，为齐次线性方程，使用可分离变量法求解；

当Q(x)不恒等于0时，为非齐次线性方程，基于对应的齐次方程的通解，使用常数变易法，或者说待定函数法求解；也可以直接利用通过常数变易法得到的通解计算公式

直接得到通解。

●伯努利方程：

通过两端同时除以yⁿ，令z=y^1-n将方程转换为一阶线性微分方程求解。

●全微分方程：它的判定和求解方法，使用曲线积分相关的理论与方法求解。

(2)变量替换，构建标准类型

对于不符合标准类型的方程，考虑对微分方程进行适当变换后，使用换元法将一阶微分方程

的右边项f(x,y)的部分表达式用新的变量表示，或者其中的变量用新的变量表达式替换，将方程转换为一阶微分方程标准类型来求解。

(3)对调因变量与自变量

将求解y函数转换为求x函数：

然后再对比标准类型；如果符合，则使用相应的思路求解；否则，在此思路上，再考虑第二种思路，通过变量替换转换为标准类型求解。

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