《对坐标的曲面积分基本计算方法与两类曲面积分之间的关系》内容小结、题型与典型题

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一、曲面积分物理意义之流量的计算

当流速场为A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))时，则穿过指定方向了的曲面∑的流量可以表示为

其中n^o曲面上的单位法向量，dS=(dydz,dzdx,dxdy)，如果记单位法向量为n^o=(cosα,cosβ,cosγ)，则有

【注】其中dydz，dzdx，dxdy分别为dS在三个坐标面上的投影，因此它们是可正可负的，正负号由相应的方向余弦符号确定！

二、对坐标的曲面积分的直接计算方法步骤

直接对坐标的曲面积分进行计算，必须分成三个曲面积分进行计算，即

对每个曲面积分直接进行计算，必须要求积分曲面为简单的YZ-型，简单的ZX-型和简单的XY-型分别计算。

在积分曲面为简单类型的情况下，则只要直接将积分曲面的二元函数表达式，即z=z(x,y),y=y(z,x),x=x(y,z)直接代入被积函数，就可以得到积分曲面分别在yOz面上的投影区域D_yz，zOx面上的投影区域D_zx和xOy面上的投影区域D_xy上的二重积分，即有

其中正负号的确定由曲面的法向量的方向来确定。对于第一个积分，当曲面的法向量取为向前的时候，即cosα>0的时候，取正，否则向后为负；类似另外两个的正负号确定分别为右正左负，上正下负。

具体步骤可以概括为：

第一步：被积函数定义在积分曲面上。考虑将描述积分曲面的变量关系式（方程）代入被积函数变换，化简被积函数。

第二步：在直角坐标系中绘制积分曲面图形，或者直接借助描述积分曲面的方程，讨论积分区域图形的对称性和被积函数的奇偶性，包括图形的“轮换对称性”；从而在满足对称性、奇偶性和轮换对称性的条件下，借助“偶零奇倍”和轮换被积表达式变量转换、化简积分。

第三步：将积分转换为简单积分曲面上的积分；然后利用上面给出的直接计算公式将简单曲面上的对坐标的曲面积分转换为二重积分。

第四步：计算二重积分。

三、两类曲面积分之间的关系

对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分有如下转换关系：

其中α，β，ϒ为曲面在(x,y,z)处的法向量与三个坐标轴x,y,z轴的夹角。

借助于以上计算公式不仅可以实现两类曲面积分之间的转换，也可以实现对不同坐标的曲面积分之间的转换；它们将对坐标的曲面积分的方向体现在三个方向角的方向余弦的正负之中。即有

后面这个公式在曲面仅仅为简单的XY-型曲面时相对来说比较实用，避免了直接计算对坐标的曲面积分时需要分别考虑(可能需要分割)其他类型的简单曲面上的对坐标的曲面积分步骤，而仅仅只需要考虑一种类型的曲面上的对坐标的曲面积分的计算。

同样借助于后面的这个对坐标的曲面积分的转换，当积分曲面为简单的YZ-型或者为简单的ZX-型是，也可以转换为对其坐标变量，如dydz,dzdx的曲面积分来执行计算。

参考课件节选：

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