《高斯公式及其应用》内容小结、题型与典型题

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一、高斯公式

定理：(1) 积分曲面为封闭曲面Σ；

(2) 封闭积分曲面的方向全部取为外侧；

(3) 在封闭曲面围成的闭区域Ω上，三个函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)存在有一阶连续偏导数，则有

并且依据两类曲面积分之间的关系，也有

其中cosα,cosβ,cosγ为积分曲面法向量的方向余弦.

【注1】应用高斯公式一定要注意三个条件：封闭性(封闭曲面)、方向性(封闭曲面的外侧)、封闭区域上的偏导连续性。

【注2】对于不满足高斯公式的对坐标的曲面积分，也可以通过构造条件，如添加辅助面封闭曲面，去掉偏导数不连续的点的方式使得积分满足条件来执行计算。值得注意的是，在添加辅助面后，一定要记得用最终结果减去辅助面上的积分结果；同时要注意添加的辅助面的方向。

二、用高斯公式计算曲面积分的基本步骤

依据高斯公式对应的定理，有如下使用高斯公式计算对坐标的曲面积分计算步骤：

第一步：明确被积表达式中的P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)函数，dydz前面的是P(x,y,z)，dzdx前面的是Q(x,y,z)，dxdy前面的是R(x,y,z)；如果有负号，记得带上负号；没有对应相应的坐标微元表达式，则对应的函数等于0.

第二步：明确三个条件：封闭性，方向性和偏导连续性；如果不满足，通过添加辅助面构造条件，使计算的积分满足三个条件。

第三步：计算三个偏导数的和，即

并计算以它为被积函数，由封闭积分曲面（分片光滑的曲面构成的封闭曲面）所围立体区域上的三重积分。

第四步：如果积分正好满足高斯公式的条件，则三重积分即为所求结果。否则，需要考虑积分曲面的方向和计算添加的辅助面上的积分，并借助积分对积分曲面的可加性和积分曲面的方向对积分的计算的影响，计算得到最终需要的积分结果。

【注1】使用高斯公式的目标是提升计算的有效性，如果发现由三个偏导数的和构成的被积函数的三重积分不好计算，甚至根本无法计算，则该过程为无效过程，对于需要计算的曲面积分应该考虑其它方法执行计算，比如尝试使用直接计算法、转换为另一种形式的曲面积分来完成计算，或者基于元素法将曲面积分模型转换为其他积分模型执行计算。具体应用实例参见下面列出的课件和第五届、第六届全国大学生数学竞赛非数学预赛真题解析课堂中对相关内容的探讨。

【注2】一般借助于高斯公式计算对坐标的曲面积分，同样也可以用于计算对面积的曲面积分，另外，也可以通过构造合适的P、Q、R函数，用曲面积分来计算三重积分。

三、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件(积分与曲面无关)

1、连通区域的类型

设有空间区域 G，若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G，则称G为空间二维单连通域；若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面，则称G为空间一维单连通域.

2、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件

定理：设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在空间二维单连通域G内具有连续一阶偏导数，∑为G内任一闭曲面，则

的充要条件是

【注】类似可以得到积分与曲面无关的结论，即对于同一边界曲线的两个曲面上的积分相等.

参考课件节选：

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