《斯托克斯公式及其应用》内容小结、题型与典型题

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一、计算空间曲线积分的斯托克斯公式

定理（斯托克斯定理）

设(1) 函数P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在空间有界闭区域Ω内有连续的一阶偏导数；

(2) Γ为Ω中的光滑有向闭曲线，Σ是Ω中由Γ张成的光滑曲面；

(3) Γ的方向和Σ的法向构成右手系（即右手四个手指指向曲线方向时，大拇指所指方向应该为曲面取向），则有

上面的公式称为斯托克斯公式，它是格林公式在空间的推广．

【注1】使用该公式时，同样必须满足定理中列出的三个条件。另外，Σ的取法不唯一。

【注2】格林公式是斯托克斯公式的特殊情况。

二、使用斯托克斯公式计算空间曲线积分的基本步骤

第一步：判断积分曲线是否为封闭曲线，如果不是，可以考虑添加简单辅助线封闭曲线，一般方向取为与原积分曲线方向一致。

第二步：选取一以封闭曲线为边界曲线的空间曲面，方向依据“右手法则”（即右手四个手指指向曲线方向时，大拇指所指方向应该为曲面取向）定取曲面方向（曲面的取法不唯一，一般选择简单的曲面，比如平面、球面等）。

【注】添加的辅助线和选取的曲面要保证在包含曲线和曲面的一个区域内积分的被积函数要有连续偏导数。

第三步：在保证满足斯托克斯公式三个前提条件（即封闭性，方向性和偏导数的连续性）下，将曲线积分借助斯托克斯公式转换为曲面积分（可考虑对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分）。

第四步：依据曲面积分的计算方法计算曲面积分得到计算结果。

【注】如果添加了辅助线，记得将添加的积分曲线上的积分减掉得到最终结果。

三、空间曲线积分与路径无关的四个等价条件

定理设G是空间一维单连通域, 函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在G内有一阶连续偏导数，则下列四个条件等价：

(1) 对G内任一分段光滑闭曲线Γ，

(2) 对G内任一分段光滑曲线Γ，积分与路径无关.

(3) 在G内存在某一三元函数u(x,y,z)，使得

(4) 在G内处处有

四、几个重要概念及计算公式

1、梯度(向量)：对三元函数u=u(x,y,z)：

2、散度(数量)：对三个三元函数构成的向量V=(P,Q,R)：

3、旋度(向量)：对三个三元函数构成的向量V=(P,Q,R)：

4、方向导数：一个可微函数f(x,y,z)与方向u⁰=(cosα,cosβ,cosγ)：

参考课件节选：

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