典型习题：(120215)全微分、原函数及欧拉方程综合性问题求解

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

相关小结

“全微分与原函数及欧拉方程求解”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．积分与路径无关的等价描述

定理设D为xOy平面上的单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D内有连续的一阶偏导数，则下面的四种说法等价：

(1) 在区域D内存在可微函数u(x,y)，使得

(2) 在区域D内成立

(3) 对于任何一条完全落在区域D内的光滑或分段光滑的闭曲线L，有

(4) 对于区域D内的任何两点A,B，积分

的值只与A,B两点的位置有关，而与A间B的曲线在区域D内的路径无关.

2．原函数的基本概念

对于单连通区域D上的微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy，若存在D上的可微函数u(x,y)使得

则称函数u(x,y)为微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函数。并且由积分与路径无关，通过取平行于坐标轴的折线段，任取一个保证折线路径上两个函数偏连续的起点(x₀,y₀)，可得

【注】积分路径上（包括端点）不能有被积函数偏导数不连续的点。

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