典型习题：(120218)对坐标的曲线积分与二阶微分方程综合题求解

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

相关小结

“对坐标的曲线积分与二阶微分方程求解”题型的求解思路以及相关的知识点：

一、一阶线性微分方程的求解方法

(1) 当Q(x)恒等于0时，为齐次线性方程，使用可分离变量法求解；

(2) 当Q(x)不恒等于0时，为非齐次线性方程，基于对应的齐次方程的通解，使用常数变易法，或者说待定函数法求解；也可以直接利用通过常数变易法得到的通解计算公式

直接得到通解。

二、可降解的微分方程类型及典型问题求解

可将阶的微分方程归根结底可以归结为一阶微分方程问题，针对于一般教材中只讨论了二阶的类型，可以扩展为如下三种类型:

(1) y⁽ⁿ⁾=f(x)

对于这样的n阶微分方程可以采取对右端逐步积分的方法，通过n次不定积分即得到包含有n个相互独立的任意常数的通解。

(2) F(x,y^(n-1), y⁽ⁿ⁾)=0

对于这样的n阶微分方程，可以令u(x)= y^(n-2)，从而得到二阶微分方程，即

F(x,u’,u’’)=0.

对于具有这类结构的微分方程，可以令u’=p(x)，将其转换为一阶微分方程

F(x,p,p’)=0

求解该微分方程并结合已知条件得到p(x)，代入u’=p(x)，再一次求解该一阶微分方程，可得u(x)，于是通过求解n-2阶第一类可降阶微分方程y^(n-2)=u(x)即得最终的通解。

(3) F(y^(n-2),y^(n-1),y⁽ⁿ⁾)=0，其中y⁽⁰⁾=y(x).

对于这样的n阶微分方程，可以令u(x)= y^(n-2)，从而得到二阶微分方程，即

F(u,u’,u’’)=0.

对于具有这类结构的微分方程，由于其不显含有x变量，由于y=y(x)，所以可以令u’=p(u)，从而有u’’=p’(u)*p，将原方程转换为关于u为自变量的一阶微分方程

F(u,p(u), p’p)=0

求解该微分方程并结合已知条件得到p(u)，代入u’(x)=p(u)，再一次求解该一阶微分方程，可得u(x)，于是通过求解n-2阶第一类可降阶微分方程y^(n-2)=u(x)即得最终的通解。

【注】高阶微分方程初值问题的求解，一般采取边求解，边确定任意常数的步骤进行，这样在一定程度上可以减少一定的计算量；同时，在计算过程中要充分利用等式所具有的一些特殊结构，达到化简计算的目的。

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