《幂级数基本概念、收敛域与和函数》内容小结、题型与典型题

点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦！

一、幂级数相关的基本概念

幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 幂级数的一般形式为

特别令，则有

其中a₀,a₁,…,a_k,…都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换x-x₀=t，可以将幂级数的一般形式(1)转换为形式(2)．因此只需要讨论幂级数(2)的形式，该级数也称为麦克劳林级数.

二、求一般幂级数收敛域的基本步骤

幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤. 一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：

第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由

令ρ(x)<1，解不等式求得幂级数的收敛区间。

第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性。

第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：

收敛区间+收敛的端点=收敛域

三、阿贝尔定理

基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：

定理1：(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；

(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散．

定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散．

并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域.

规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞．

四、求标准幂级数收敛域的一般步骤

标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后

形式的级数，对于这样的级数有如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：

(1) 收敛半径：

(2) 收敛区间即为(-R,R).

(3) 判断端点x=±R的收敛性，

收敛区间+收敛的端点=收敛域

发散区间+发散的端点=发散域

【注】该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.

五、幂级数的运算性质

1、幂级数的加减运算性质

2、幂级数逐项可导，逐项可积

性质1（幂级数的和函数的连续性）幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续．

性质2（幂级数可逐项积分）

性质3（幂级数可逐项求导）

【注1】反复应用上述结论可得：幂级数的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数．

【注2】幂级数与其逐项求导和逐项积分所得到的对应的级数的收敛半径相等．

六、三个最基本函数的麦克劳林级数及其收敛域 

七、求幂级数和函数的基本步骤

第一步：求收敛域.

【注1】这一步也可以放在第二步后.

第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即

第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。

【注2】这个步骤可多次进行，一般分母有n可以考虑直接对项求导，分子有n可以考虑对项求积分，每次只能消去n的一次项，所以考虑消去n时，应该将包含n的乘项分解为一次项的乘积。如果求导、求积分不能消去，可以考虑乘以或者除以x^m的方式，通过凑幂来实现.

第四步：对已有的幂级数及和函数等式，两端执行第二步的逆运算，即求导的求积分，求积分的求导；并经过换元的逆代换，得到原幂级数的和函数。

【注3】最终的和函数记得带上收敛域，对于端点和运算过程中没有意义的点可以考虑和函数的连续性确定，或者单独求和确定。

函数项级数内容请参见(点击直接进入)：

参考课件节选：

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) 大学数学公共基础课程分享交流平台！亲，都看到这里了，为咱们的坚持一起点！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容