典型习题：(120213)曲线积分与二重积分的综合证明题

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习题解答

相关小结

 “曲线积分与二重积分的综合证明题”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．格林公式

当(1)积分曲线为闭曲线L；

(2)积分曲线L的方向相对于其围成的封闭区域D以左手法则判定为正方向；

(3)在闭区域上，两个二元函数P(x,y)和Q(x,y)存在有一阶连续偏导数，则有

【注】正确使用以上标准格林公式，三个条件：闭曲线、正方向、闭区域上的偏导连续性，一个都不能少。

2．曲线外法线方向的确定

注意封闭曲线切向量方向与外法线方向的关系。如果切向量方向为T⁰=(cosα,cosβ)（T=(x’(t),y’(t))），则当曲线的切向量指向为逆时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n⁰=(cosβ,-cosα)（n=(y’(t),-x’(t))）；当曲线的切向量指向为顺时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n⁰=(-cosβ,cosα)（n=-(y’(t),-x’(t))）。即曲线的法向量与切向量的关系为：n=±(y’(t),-x’(t))。取正号时，法向量为切向量顺时钟旋转90度得到；取负号时，法向量为切向量逆时钟旋转90度得到。

3．方向导数的计算

定理设函数f(x,y)在点P(x₀,y₀)可微，那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在，且有

其中cosα,cosβ为向量u的方向余弦，或者说为向量u对应的单位向量的两个分量．其中函数f沿方向u的方向导数，即

    一般地，当函数f(x,y,z)可微时，则它在点P(x,y,z)沿方向u（对应的单位向量为u^o=(cosα,cosβ,cosϒ)）的方向导数为

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