《函数奇偶延拓与周期延拓及傅里叶级数展开》内容小结、题型与典型题

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一、定义域区间长度为2π的函数的傅里叶级数展开

第一步：函数的周期延拓. 设f(x)的定义域为I=[-π,π]或[-π,π)，(-π,π]，(-π,π)，则对于该函数可以通过图形平移复制的方式将函数延拓为周期T=2π的周期函数，即在函数f(x)的定义域内定义函数为f(x)，在其它范围内定义f(x+2nπ)= f(x)，由此可得周期函数的描述形式为

第二步：根据函数的奇偶性，确定需要计算的系数。并依据以下公式计算函数的傅里叶系数

第三步：以傅里叶系数为系数，写出傅里叶级数

第四步：根据狄利克雷收敛定理，判断函数在区间I上的收敛性，写出在区间I上的傅里叶级数的和函数S_I(x)。尤其注意考察区间内的间断点和区间端点的收敛性，得到和函数等于被展开函数f(x)的集合I_D，并写出如下表达式

二、定义域区间长度为π的函数的傅里叶级数展开

设f(x)的定义域为I=[0,π]或[0,π)，(0,π]，(0,π)，对于该函数可以首先将其延拓为区间长度为2π定义域上的函数，然后再将其延拓为周期T=2π的周期函数进行傅里叶级数展开. 对于这样的函数，将其展开为傅里叶级数的方式主要有三个，分别展开为正弦级数、展开为余弦级数和展开为一般级数.

1、展开为正弦级数

第一步：函数的奇延拓. 记-I为I原点对称区间，定义函数关于原点对称区间-I上的函数

即有

则F(x)为奇函数. 

第二步：函数的周期延拓. 利用如下方式，将函数F(x)延拓为周期T=2π的函数.

第三步：计算函数的傅里叶系数. 由于函数F(x)为奇函数，所以只要计算系数b_k，即

第四步：写出傅里叶级数

第四步：根据狄利克雷收敛定理，判断函数在区间I上的收敛性，写出在区间I上的和函数，并得到和函数等于被展开函数的区间I_D，于是有

2、展开为余弦级数

第一步：函数的偶延拓. 记-I为I原点对称区间，定义函数关于原点对称区间-I上的函数

即有

则F(x)为偶函数.

第二步：函数的周期延拓利用如下方式，将函数F(x)延拓为周期T=2π的函数.

第三步：计算函数的傅里叶系数. 由于函数F(x)为偶函数，所以只要计算系数a_k，即

第四步：写出傅里叶级数

第四步：根据狄利克雷收敛定理，判断函数在区间I上的收敛性，写出在区间I上的和函数，并得到和函数等于被展开函数的区间I_D，于是有

3、展开为一般级数

第一步：定义对称区间上的一般函数. 记-I为I原点对称区间，定义函数为

其中g(x)为任意函数，根据需要选取，比如可以选取为连接端点的常值函数.

第二步：函数的周期延拓. 利用如下方式，将函数F(x)延拓为周期T=2π的函数.

第三步：计算函数的傅里叶系数. 由傅里叶系数计算公式，计算系数a_k,b_k，即

第四步：写出傅里叶级数

第四步：根据狄利克雷收敛定理，判断函数在区间I上的收敛性，写出在区间I上的和函数，并得到和函数等于被展开函数的区间I_D，于是有

参考课件节选：

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