《一般周期的函数的傅里叶级数及其复数描述》内容小结、题型与典型题

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一、周期为2L的函数的傅里叶级数

设函数f(x)在(-∞+∞)上有定义，以2L为周期，且在[-L,L]上满足狄利克雷收敛定理的条件(在一个周期上分段连续，并且在一个周期内只有有限个极值点和有限个第一类间断点)，则根据周期为2π的周期函数傅里叶级数展开的步骤，周期为2L的函数的傅里叶级数展开具有完全一致的步骤，只是系数计算公式和三角级数在描述上略有不同，具体归纳如下：

第一步：计算傅里叶系数

由傅里叶系数计算公式计算傅里叶系数：

第二步：以傅里叶系数为系数，写出三角级数

第三步：基于狄利克雷收敛定理判定傅里叶级数的收敛性

由狄利克雷收敛定理写出级数的和函数：

其中f(x+0)和f(x-0)分别为函数f(x)在点x处的右极限与左极限．即在连续点处傅里叶级数收敛于函数本身S(x)=f(x)；在间断点处收敛于该点左、右极限的算术平均值．

第四步：函数展开成傅里叶级数

依据定理得到和函数等于被展开函数f(x)的集合I，最终写出附带集合I的等式

【注1】当L=π时，则为周期为2π的函数的傅里叶级数．

【注2】类似周期为2π的奇偶延拓、周期延拓，可以将任意有限区间

[a,b]，(a,b)，(a,b]，[a,b)

上的函数展开为周期大于等于b-a的傅里叶级数.

二、傅里叶级数的复数形式

设f(x)是周期为T=2L的周期函数，则其傅里叶级数的复数形式为：

具体形式推导见下面的课件列表.

参考课件节选：

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