高等数学：数学竞赛与考研必备知识点及其应用（上）

点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦！

【注1】以下内容既是竞赛、考研必备知识点，也是平时课程学习必备的复习提纲！

【注2】在解题过程步骤中，使用各种方法前，为了让自己过程清晰展示有理有据，请在解题过程中注明使用的各类依据！

【注3】以下罗列的必备知识点与方法在微信公众号“考研竞赛数学(ID:xwmath)”的“每日一题”（后台回复“每日一题”或点击菜单“高数线代”下的“每日一题”可以查看每日一题总列表）栏目中都能有对应的例题，对于教程中没有给出的相关知识点，则在对应的每日一题推文中进行了说明！同时在菜单“高数线代”菜单下的“高等数学内容导航”中可以查看各章节更详细的知识点总结与课件、单元练习与典型习题解析！或者直接点击“高等数学最全学习、复习资源导航列表”进入所有高数首推文章列表.

【注4】如何审题、如何解题，如何探索解题思路，如何总结和推广，则请参加本号推出的《公共基础课》在线课堂，点击本文左下角“阅读原文”，或者公众号后台回复“在线课堂”可以直接进入课堂，或了解课堂详情！

1、数列极限的计算

(1) 单调有界原理

单调增加有上界、单调递减有下界. 一般先考虑有界性，然后再考虑单调性的判定.

(2) 夹逼准则

项的放大与缩小. 放大、缩小后的极限式极限存在且相等.

(3) 基于夹逼准则的定义法

先假设极限存在，求得极限值，然后基于数列与极限值差的绝对值极限值趋于0.

(4) 级数法

将数列通项视为级数通项，级数收敛则一般项趋于0，或者直接转换为级数和收敛性的判定与和的计算.

(5) 积分法

一般构造部分和极限式具有定积分均分区间的结构，然后转换为在[0,1]上的定积分来计算.

(6) 基于海涅定理的求数列的极限

将数列极限转换为函数极限计算. 注意应用函数的方法求数列极限时，要将n换成x.

(7) 拉链定理

奇数项数列收敛，偶数项数列收敛，且两者极限值相等，则原数列收敛.

(8) Stolz定理

将数列转换为两个数列的比值，依据分子、分母项差的极限的存在性与极限值判定原极限的存在性与求极限值. Stolz 定理可以方便地求分子为n项和形式的极限。

2、函数极限的计算

(1) 等价无穷小

极限计算首先考虑等价无穷小简化极限计算. 等价无穷小一般使用原则：乘除项整体因式应用等价无穷小替换

(2) 洛必达法则

注意去心邻域内可导条件和极限式为未定型

(3) 泰勒公式

一般极限式中函数类型比较多，并且包含有幂函数时，考虑带皮亚诺余项的麦克劳林公式。

以上三种必须掌握的解题思路与方法详细分析、讨论及实例分析，尤其对于在x=0点没有定义函数的麦克劳林公式的描述的获取，可以参见“第三届全国大学生数学竞赛非数学类真题解析”在线课堂的第一题：函数极限计算的三类重要方法及应用实例分析.

(4) 导数的定义求极限

(5) 幂指函数结构的对数函数法

将幂指函数结构通过取为自然常数e为底的指数函数，将幂指函数的极限问题转换为指数求极限的问题.

(6) 带有积分号的极限

对于包含有积分范围几何度量值的极限式可以考虑积分中值定理、对被积函数可以考虑基于夹逼准则的估值定理. 同样，极限式中包含有一个函数的两个函数值差结构的时候，可以考虑拉格朗日中值定理.

对于含参变量的积分，当被积函数连续的时候，积分号与极限号可以交换次序.

【注1】对于一些常见的极限式（公式）的极限的存在性与极限值要熟悉！同时注意公式中的变量是可以替换为函数值具有与公式中的变量同样变化过程的任意函数表达式的.

【注2】特别注意四则运算法则的前提条件是极限存在！极限趋于无穷大是属于极限不存在的特殊描述.

3、函数表达式的求解

(1) 恒等式换元求函数表达式

基于函数恒等式变量换元构建函数递推关系，考虑级数求和，或求极限的方式求函数表达式.

(2) 解微分方程求函数表达式

已知条件中包含有变限积分时，一般直接考虑对包含变限积分的等式求导来去掉积分描述. 并通过令变限积分上下限相等获得相应等式中的已知函数值.

4、无穷小的比较

(1) 高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、k阶无穷小、等价无穷小

直接用定义判定：求自变量某个变化过程中的无穷小的商的极限

(2) k阶无穷小阶的计算

自变量趋于0时的某个函数关于x的无穷小的阶的计算一般考虑带皮亚诺余项的麦克劳林了公式.

(3)渐近线

水平渐近线(最多两条)、铅直渐近线(可以有无限条)、斜渐近线(最多两条)

5、导数的计算

(1) 导数的定义求导数

对于抽象函数、分段函数分界点、复杂函数一点处导数的计算以及导数存在性的讨论一般都应用导数的定义

(2) 隐函数的导数

基于复合函数求导的链式法则求隐函数的导数，明确自变量和函数.

(3) 参数方程与极坐标方程的导数

参数方程求导公式，极坐标方程转换为参数方程求导求曲线切线的斜率。

(4) 抽象函数求导数

↘写出复合结构，依据链式法则，逐项相乘得到结果。

↘对某个表达式求导时，如果表达式中不含有求导变量，如果表达式中的变量与求导变量有关，则注意求导结果是先关于表达式中的变量求导，再乘以表达式包含的变量关于求导变量求导。

(5) 反函数的导数

反函数的导数等于直接函数的导数的倒数. 特别注意

(6)高阶导数

↘求n阶导数的莱布尼兹公式.

↘基于已知n阶导数计算公式的函数sinx,cosx,e^x,ln(1+x),(1+x)^a，应用n求导的线性运算法则与复合函数求导求n阶导数.

↘利用泰勒公式求指定点处的高阶导数值.

(7) 变限积分求导

↘直接的定积分结构的变限积分求导公式(包括标准结构以及需要换元转换标准结构的变限积分求导)

↘含有参变量的变限积分求导。关于含参变量常义积分的相关性质：连续性、可微性、可积性及相关实例分析与讨论，可以参见“第四届全国大学生数学竞赛非数学初赛真题解析”在线课堂的第六题的在线课堂教学.

(8) 曲线的切线与法线

导数的几何意义

(9) 微分

微分的计算归结为导数的计算，记得微分的结果在没有一直自变量增量取值时，结果一定要乘以dx. 微分存在性的判定就是可导性的判定.

(10)一个关系判定

函数可导一定连续，函数连续不一定可导，可导与可微存在性等价.

(11)相关变化率

等式两端的变量是某个变量(一般考虑时间t)的函数，两端同时关于同一变量求导，可以建立不同变量关于同一变量的导数之间的关系，从而依据其中已知变量的变化率可以求未知变量的变化率.

6、中值等式、不等式的证明

中值等式，方程根的存在性，函数存在零点及个数判定.

(1) 闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数最值（有界性）定理、介值（零值）定理证明中值等式

(2) 一个中值命题证明

介值定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理（有两个函数）、泰勒中值定理（题目中有两阶及两阶以上导数的条件或结论）、积分中值定理

(3) 两个中值命题的证明

一般考虑将两个中值拆分到等式两侧，两次介值定理，两次拉格朗日中值定理，或罗尔定理、中值定理结合，或柯西中值定理结合. 一般需要找三个点.

(4) 中值不等式命题

↘常用拉格朗日中值定理，泰勒中值定理.

↘对于证明包含函数的不等式命题，拉格朗日中值定理的端点一个取为变量，或者取为两个相差常数值的变量，如x,x+1；对于泰勒公式则一般考虑在区间内的任意点展开的泰勒公式.

(5)中值等式命题中辅助函数的构造

一般首先将包含的中值的表达式移到等式的一侧，多个中值则分列两侧：

↘直接取其中的某一个函数作为研究对象

↘令包含一个中值的表达式中值为变量构造辅助函数

↘令中值为变量，求表达式一个原函数构造辅助函数

↘令其中的一个端点值为变量构造辅助函数

7、函数的单调性、凹凸性、极值、最值与曲率

(1) 函数单调性应用

↘通过区间内一阶导数的符号来确定函数的单调性，一阶导数等于0的点为函数的驻点.

↘将函数不等式的项全部移到一侧，直接构造辅助函数，并求区间端点值（对于无穷区间可以考虑极限值）或中间特殊点的值，通过求导确定函数在区间内的单调性，并通过比较所得函数值的大小来验证函数不等式.

↘对于常值不等式或积分不等式，可以令某个端点值为变量x，移项构造辅助函数，通过验证函数的单调性比较端点值验证不等式.

↘通过判定驻点左右导数符号来确定函数是否取到极值、判定极值类型及求极值点和极值.

↘应用单调性确定方程根、函数零点的数量.

(2) 函数凹凸性的应用

↘通过区间内二阶导数的符号来确定函数曲线图形的凹凸性.

↘借助凹凸性验证函数，或常值不等式.

(3)曲率

曲率、曲率半径、曲率中心、曲率圆的计算

(4) 极值、最值

↘极值、最值的求解思路：极值、最值可能的位置（不可导点、驻点），一阶导数单调性判定法、二阶导数判定法、定义法. 最值不需要判定可能的极值点是否为极值，直接将可能的极值点、区间端点值（无穷区间考虑变量趋于无穷大函数的极限值）进行比较即可确定最值是否取到.

↘应用最值验证不等式

8、积分的计算与反常积分敛散性的判定

(1) 积分的第一、第二换元法

常见函数的原函数要记住，常用结构的换元表达式要熟悉，常见三角函数恒等式变换要记牢，三角代换、倒代换、根式代换、负代换. 三角代换时的三角形要会绘制.

【注】不定积分换元后要回代，定积分换元必换限

(2) 积分的分部积分法

“反对幂指三”：拆分被积函数为两个函数的乘积，前面的函数类型用作分部积分法中的u函数，被积函数，后面的函数用来构造v函数，即构造微分dv. 对于不能拆分的函数直接用积分变量为v函数. 注意观察分部后得到的积分与原来积分之间的关系.

(3) 偶倍奇零化简积分

注意积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，注重借助“偶倍奇零”计算性质化简积分计算，尤其遇到复杂的被积函数表达式时，要注意借助积分的线性运算性质，借助性质简化计算.

(4) 有理函数的积分

将函数拆分成分母为一次(x-a)或二次函数(x^2+ax+b)及其次幂的部分分式，然后转换为这样两类函数的积分计算.

(5) 三角有理式的积分

注意应用三角函数恒等式变换关系转换被积函数，分割区间计算积分，一般考虑转换为[0,Pi/2]区间积分来计算，应用华莱士公式直接计算得到积分结果.

(6)周期函数的积分

周期函数在长度为一个周期的任意区间上积分相等.

(7) 积分等式的证明

↘注意积分两端积分区间的差异、函数的差异，从而考虑从不同角度来换元，从而验证等式.

↘定积分等式证明的二重积分方法，定积分乘积可以直接转换为二重积分；只有一个定积分，可以将两个值的差描述为定积分来构造二重积分累次积分形式.

↘积分中值定理，被积函数应用拉格朗日中值定理、泰勒公式描述

(8)积分不等式的证明

↘积分的保号性与保序性(被积函数的不等式)

↘积分的绝对值不等式

↘估值定理

(9) 反常积分

↘反常积分的计算（与定积分相同，只不过无穷与奇点函数值为求极限，奇点在区间中间一定要基于积分区间的可加性拆分成两个积分单独讨论）

↘反常积分的敛散性的判定：定义法（即计算反常积分极限是否存在），比较判别法（主要与p-积分，q-积分比较，或自然常数为底的函数积分比较），级数法（主要适用于无穷限的反常积分）

9、微分方程求解

(1) 微分方程类型及求解方法

↘可分离变量的微分方程(分离变量法)、齐次微分方程(换元分离变量法)、一阶线性微分方程(齐次为分离变量法，非齐次为常数变易法或直接通解计算公式)、伯努利方程(换元转化为一阶线性微分方程)、全微分方程（曲线积分与路径无关求原函数，基于全微分的形式不变性凑微分的方法）

↘三类可将降阶的微分方程(逐次降阶不定积分方法、换元逐次降阶法、其中不显含自变量的换元法令函数的变量就为因变量，所以关于自变量求导要注意复合函数求导过程)

↘二阶齐次变系数线性微分方程(刘维尔公式，待定函数法)

↘常系数齐次线性微分方程(特征方程求特征根方法)

↘常系数非齐次线性微分方程(基于两类右端项f(x)求特解，并基于解的结构得通解)

↘欧拉方程(换元转化为常系数线性微分方程)

【注】对于不符合以上类型的微分方程，考虑交换因变量、自变量的地位再考虑微分方程类型（主要一阶微分方程，将x视为函数，把y视为变量），换元转换类型（比如齐次微分方程，伯努利方程、可降阶的微分方程、欧拉方程）

(2) 线性微分方程解的结构

设(**)为n阶齐次线性微分方程，(*)为右端项为f(x)的n阶非齐次线性微分方程，则

↘设y₁(x),y₂(x),…,y_n(x)是齐次线性微分方程(**)的n个解，则C₁*y₁(x)+C₂*y₂(x)+…+C_n*y_n(x)也是(**)的解，其中C₁,C₂,…,C_n是n个任意常数.

↘设y₁(x),y₂(x),…,y_n(x)是齐次线性微分方程(**)的n个线性无关的解，则C₁*y₁(x)+C₂*y₂(x)+…+C_n*y_n(x)是(**)的通解，其中C₁,C₂,…,C_n是n个任意常数.

↘设y₁^*(x),y₂^*(x)是非齐次线性微分方程(*)的解，则y₁^*(x)-y₂^*(x)是对应齐次线性微分方程(**)的解.

↘设Y(x, C₁,C₂,…, C_n)是齐次线性微分方程(**)的通解，y^*(x)是非齐次线性微分方程(*)的解，则Y(x, C₁,C₂,…, C_n)+ y^*(x)是非齐次线性方程(*)的通解.

↘（叠加原理）设y₁(x),y₂(x)分别是非齐次线性方程(*)右边项为f(x)和g(x)的解，则y₁(x)+y₂(x)为(*)右边项为f(x)+g(x)的解；即y₁(x),y₂(x)为(*)的解，y₁(x)+y₂(x)不是(*)的解，应该(*)右边项为2f(x)的解.

相关推荐

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) 大学数学公共基础课程分享交流平台！支持本号请点赞分享！

↓↓↓点阅读原文进入在线课堂