《曲线的参数方程与极坐标方程》内容小结、题型与参考课件节选

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平面曲线的四种可能的描述：

(1) 一元函数：y=f(x)，x∈D；

(2) 二元方程：F(x,y)=0，(x,y)∈[a,b]×[c,d]；

(3) 参数方程：x=x(t)，y=y(t),t∈[a,b]；

(4) 极坐标方程：ρ=ρ(θ), θ∈[a,b].

【注】一元函数是二元方程的一种特殊情形. 

关于参数方程：

(1) 平面上动点的运动形成的轨迹为平面曲线．

(2) 描述曲线的参数方程，或者将直角坐标方程转换为参数方程的描述，描述形式不唯一.

(3) 对于一元函数、平面直线、圆、双曲线、抛物线的参数方程要熟练掌握。

(4) 对于一元函数，直接令自变量为参数可以直接写出参数方程.

(5) 参数方程消去参数可以得到直角坐标方程. 

关于极坐标：

(1) 极坐标系与极坐标

平面中任一不与O相重的点P都可以由两个参数来确定：一个是O,P两点之间的距离ρ（称之为极径），另一个是极轴(x轴)与射线OP之间的夹角θ(称之为极角或幅角，通常以弧度为单位)，称(ρ, θ)为点P的极坐标．

(2) 一般地，从极轴出发按逆时针方向测量出的极角取正值，按顺时针方向测量出的极角取负值．原点处ρ=0。

(3) 直角坐标系与极坐标系之间的关系可以由下面图中关系式确定： 

其中极点对应原点，极轴与x的正半轴重合，ρ≥0，θ的变化范围通常取[0,2π]或者[-π, π].借助两者之间的关系可以实现直角坐标方程与极坐标方程的相互转换。注意变量范围的变化！

(4)极坐标方程描述曲线的形式一般为ρ=ρ(θ)，也可以描述为θ=θ(ρ)。

(5) 极坐标方程也可以转换为参数方程描述，直接取极角为参数，则极坐标方程ρ=ρ(θ)(α≤θ≤β)的参数方程描述形式为

【注】实际应用中极坐标描述曲线上的点坐标的范围不受这样的范围限制。

参考课件节选

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